Рассмотрим группу $%G$% поворотов $%\mathbb R^3$% порожденную поворотами $%x, y\in G$% на 90 градусов отн. осей x и у соотв.

1) Каков порядок $%G$%?

2) Нормальна ли подгруппа порожденная $%x^2,y^2$%?

задан 17 Июн '17 17:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Поворот на 90 градусов относительно оси Ox переводит базисные векторы i, j, k трёхмерного пространства в i, -k, j. (Направление поворота задаём сами, так как условие об этом умалчивает.) Поворот на тот же угол относительно Oy переводит те же векторы в -k, j, i в порядке следования.

Оказывается, что векторы как-то при этом переставляются, и некоторые из них могут приобретать знак "минус". Всего таких троек 48, но здесь рассматриваются повороты, а они сохраняют ориентацию. Поэтому правых троек получится только 24 (фактически, это число вращений куба).

Остаётся проверить, что все 24 варианта возможны. Прежде всего, композиция двух поворотов даёт тройку -k, -i, j, и далее возводим это преобразование в куб, получая тождественное. Значит, в группе есть элемент порядка 3, а тогда она имеет порядок не меньше 12 ввиду присутствия элемента порядка 4. Для группы вращений куба имеется естественное вложение в S4, индуцированное подстановкой на множестве больших диагоналей. Легко проверить, что это именно вложение, так как каждая из диагоналей остаётся на месте только при тождественном вращении. Отсюда сразу ясно, что группа вращений куба изоморфна S4. Если бы порядок подгруппы был равен 12, то это только подгруппа A4, но в ней отсутствуют элементы 4-го порядка.

Можно было бы рассуждать и иначе, сразу рассматривая подстановки на диагоналях. Тогда повороты задают циклы (1234) и (1243), а они порождают всю S4.

2) Исходя из представления элементов подстановками, видно, что x^2 и y^2 задают (13)(24) и (14)(23). Они порождают четверную подгруппу Клейна, нормальную в S4, то есть в G. Видимо, имелось в виду это, потому что в группе вращений всего пространства такая подгруппа нормальной, очевидно, не будет (там все вращения на один и тот же угол сопряжены, и их бесконечно много).

ссылка

отвечен 17 Июн '17 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
17 Июн '17 17:40

показан
210 раз

обновлен
17 Июн '17 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru