Если $%g\in S_5$% имеет порядок 6, сколько элементов $%S_5$% коммутирует с $%g$%?

задан 17 Июн '17 17:46

изменен 19 Июл '18 1:59

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


8.3k216

1

Интересно, при чем тут тег "квантмех"?

(19 Июл '18 2:03) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
2

Порядок элемента равен НОК длин независимых циклов. В S5 порядок 6 возможен только при циклах длины 3 и 2, то есть можно считать g=(123)(45). Элементов такого циклического строения будет 20: для выбора транспозиции есть C_5^2=10 вариантов, а из оставшихся символов тройной цикл формируется двумя способами. Тогда индекс централизатора g равен 20, и сам централизатор имеет порядок 5!:20=6. Ясно, что это циклическая группа, порождённая g. Коммутировать с g здесь могут только его степени, а их 6.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 18:07

20-это кол-во только элементов вида (abc)(de) или и (abc)(de) и (de)(abc)? Похоже что первое, но всего элементов порядка 6 столько же, сколько перестановок обоих видов?

А, ну они равны в группе. У меня комбинаторная путаница в голове, когда сопоставляю с предыдущими подсчетами типа math.hashcode.ru/questions/158377/ где делили, исходя из того что (ab)(cd)=(cd)(ab)

(19 Июл '18 1:39) Slater

Ясно, что порядок следования независимых циклов роли не играет. Если длины разные, то можно договориться писать в виде (abc)(de). Для пар транспозиций уже нет однозначности, и там надо делить пополам, если считать тем же методом.

(19 Июл '18 1:58) falcao

Как увидеть, что нет однозначности? Ведь (ab)(cd)=(cd)(ab), как и в случае с (abc)(de)=(de)(abc).

(19 Июл '18 2:04) Slater

@Slater: это "азы" комбинаторики. Их надо если даже не знать, то чувствовать. Если я считаю, сколькими способами можно выбрать (ab), то получается 10. Затем из оставшихся трёх элементов я (cd) выбираю 3 способами. По правилу произведения получается 30, и надо делить пополам, так как я дважды посчитал один и то же элемент: и как (ab)(cd), и как (cd)(ab). В случае с (abc)(de) я сначала выбираю тройной цикл, потом транспозицию. Делить дополнительно ни на что не надо, так как вторая форма записи (de)(abc) соответствует случаю, когда на первом шаге выбиралась транспозиция, но этого здесь не было.

(19 Июл '18 2:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,019
×241
×3
×2

задан
17 Июн '17 17:46

показан
451 раз

обновлен
19 Июл '18 2:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru