Пусть A - вещественная 5 на 5 матрица ранга 2 с собственным значением -i. Доказать, что A^3=-A и что A диагонализуема как комплексная матрица.

задан 17 Июн '17 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Приведём матрицу к жордановой форме. Поскольку при этом происходит домножение слева и справа на невырожденные матрицы, ранг при этом не меняется. Имеется в виду, что строки матрицы должны порождать подпространство размерности 2 в $%\mathbb C^5$%.

Ввиду того, что исходная матрица вещественна, у неё есть сопряжённое собственное значение i. Уже такие две строки, с элементами i и -i по диагонали, дадут размерность 2. Значит, остальные три строки должны быть нулевые, и собственное значение 0 имеет кратность 3. Ясно также, что жордановых клеток размера 2 и более присутствовать ни для какого из собственных чисел не может. Тем самым, матрица диагонализируема над $%\mathbb C$% с собственными числами $%i$%, $%-i$%, $%0$%, $%0$%, $%0$% по главной диагонали.

Если такую диагональную матрицу $%B$% возвести в куб, то числа станут равны $%-i$%, $%i$%, $%0$%, $%0$%, $%0$% соответственно, то есть получится $%-B$%. Значит, $%B^3=-B$%, и сопряжённая матрица $%A$% удовлетворяет тому же уравнению (а также уравнению $%A^2=-I$%).

ссылка

отвечен 17 Июн '17 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,333

задан
17 Июн '17 17:48

показан
199 раз

обновлен
17 Июн '17 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru