Найти все максимальные двусторонние идеалы в $%Mat_{n\times n}(\mathbb Z)$% для $%n=3$%

задан 17 Июн '17 17:50

изменен 17 Июн '17 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%I$% -- идеал матричного кольца. Рассмотрим множество таких элементов кольца $%\mathbb Z$%, которые встречаются в качестве матричных элементов $%a_{11}$% для матриц из $%I$%. Обозначим это множество через $%J$%. Ясно, что оно замкнуто относительно вычитания, а потому является идеалом в $%\mathbb Z$%. Рассмотрим множество всех матриц, у которых все элементы принадлежат $%J$%. Оно содержится в $%I$%. Верно и обратное, так как если принадлежит идеалу $%I$%, то любой её элемент $%a_{ij}$% можно превратить в элемент первой строки и первого столбца путём домножения слева и справа на мономиальные матрицы.

Таким образом, двусторонние идеалы в $%Mat(n,\mathbb Z)$% представляются в виде $%Mat(n,m\mathbb Z)$% для некоторого натурального $%m$%. Чтобы такой идеал был максимален, нужно, чтобы $%m\mathbb Z$% был максимален, то есть $%m$% было простым. Иными словами, мы берём в кольце матриц идеалы, порождённые матрицей $%pI$%, где $%p$% простое.

ссылка

отвечен 18 Июн '17 0:55

Пусть I - идеал, порожденный diag(1,2,3), т.е. множество всех матриц, целочисленно кратных diag(1,2,3). Тогда J=Z. В множество всех матриц, у которых все элементы принадлежат J=Z, входит матрица diag(0,1,0). Но эта матрица не лежит в I.

Где я ошибаюсь?

(19 Июн '17 23:51) Slater

@Slater: почему Вы считаете, что матрица diag(0,1,0) не лежит в I? Ведь I состоит из матриц вида A{1}DB{1}+...+A{k}DB{k}, где D=diag(1,2,3), а A(i),B(i) любые. Это не целочисленные кратные, а нечто более сложное.

(20 Июн '17 0:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516

задан
17 Июн '17 17:50

показан
252 раза

обновлен
20 Июн '17 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru