Пусть $%R$% - конечное коммутативное кольцо с 1.

1) Доказать: $%a\in R$% - корень $%p\in R[x] \iff p(x)=(x-a)g(x), g\in R[x], \deg g=\deg p-1$%

2) Доказать или привести контрпример: если $%\deg p=n (p\in R[x]),$% то $%p$% может иметь максимум $%n$% различных корней в $%R$%

Меня смущает условие на конечность кольца. Зачем оно? Подойдут ли такие рассуждения? Первый пункт: если представляется, то а - корень (очевидно); если а - корень, делим p на x-a с остатком, остаток равен нулю (т.к. а - корень), поэтому p представляется в нужном виде (степень g на 1 меньше т.к. иначе равенство не может выполняться). Второй пункт: если больше n корней, то процесс из п. 1) приведет к тому, что p(x)=(x-a)f(x) где deg f=n, т.е. deg p > n.

задан 17 Июн '17 18:52

изменен 19 Июл '18 3:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Условие конечности кольца в этом пункте не нужно. Деление с остатком на x-a возможно в любом коммутативном кольце с единицей (фактически, это теорема Безу). Конечность тут может разве что мешать из-за наличия делителей нуля, но в данном случае эта трудность не возникает.

2) Многочлен x^2-1 в кольце вычетов Z_8 имеет 4 корня: 1, 3, 5, 7. При нечётном x, разность (x-1)(x+1) всегда делится на 8, так как оба сомножителя чётны, а один делится на 4.

ссылка

отвечен 18 Июн '17 0:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
17 Июн '17 18:52

показан
300 раз

обновлен
19 Июл '18 3:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru