Дискретная марковская цепь имеет следующую матрицу вероятностей перехода за один шаг:

$$\mathbf{P} = \left(\begin{array}{ccc} 1-a & a \\ b & 1-b \end {array} \right)$$

Найти матрицу вероятностей перехода за n шагов и предел при "n стремится к бесконечности"

задан 17 Июн '17 22:08

наверное, жорданова форма Вам поможет...

(17 Июн '17 22:19) all_exist

Найдите формулы для возведения матрицы в степень. Это можно сделать многими способами. Например, можно вывести рекуррентное соотношение для коэффициентов, из которого всё выражается.

(17 Июн '17 22:32) falcao

@falcao: можете подсказать, как вывести необходимое рекуррентное соотношение?

(17 Июн '17 23:38) Renok

@Renok: матрица P^n имеет вид 1-A(n) A(n) // B(n) 1-B(n). Умножаете на P, после чего A(n+1) и B(n+1) выражаются через предыдущие. Итоговые формулы там несложные будут.

(17 Июн '17 23:58) falcao

@falcao: почему матрица P^n имеет именно такой вид 1-A(n) A(n) // B(n) 1-B(n) ? Если посчитать матрицу P^2, то вид будет иной

(18 Июн '17 11:16) Renok

@Renok, $%A(2)=a(2-a-b), B(2)=b(2-a-b). $%

(18 Июн '17 13:06) Urt

@Renok: сумма чисел в строках равна 1. Если это так для P, то и для степеней тоже. Тогда матрицу можно представить в указанном виде.

(18 Июн '17 14:39) falcao

@falcao, @Urt: Получается, рекуррентная форма коэффициентов выглядит так: $$a_{n} = a_{n-2}+a_{n-1}(1-a_{n-2}-b_{n-2}), n > 2$$ $$a_{2} = 2a- a^{2}-ab$$ $$a_{1} = a$$ (для b аналогична)

Не совсем понимаю, как считать случай "n стремится к бескон". Единственное, что вижу: для матрицы Pn расписать определитель и оставить так под знаком предела

(18 Июн '17 14:43) Renok

@Renok: у Вас получилось что-то очень сложное. Там a(n) выражается только через a(n-1) и постоянные величины. Аналогично для b(n).

(18 Июн '17 15:06) falcao

@falcao: вы правы :) должно быть вот так: $$a_{n} = a+a_{n-1}-aa_{n-1}-ba_{n-1}$$. Но как теперь решить для случая n стремится к бескон? Разве только так и оставить матрицу под пределом..

(18 Июн '17 15:21) Renok

@Renok: теперь надо из рекуррентной формулы получить обычную. Для этого подбирается такая константа c, что a_n-c=k(a_{n-1}-c), где k=1-a-b. После того, как a_n предстанет в явном виде, станет понятно, при каких условиях существует предел, и чему он равен. Там будет использовано то, что q^n->0 при |q| < 1.

(18 Июн '17 15:26) falcao

@falcao: почему k=1-a-b ? И далее используется буква q, наверное, она подразумевалась как k ?

(18 Июн '17 17:00) Renok

@Renok: коэффициент при a_{n-1} в написанной Вами формуле равен 1-a-b. Отсюда значение k. Число q здесь то же самое, но я воспроизвёл некий общий факт.

(18 Июн '17 19:11) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
2

До кучи...

Собственные значения $$ \det(P-\lambda E) = \begin{vmatrix} 1 - a - \lambda & a \\ b & 1 - b - \lambda \end{vmatrix}= \lambda^2-(2-a-b)\lambda+(1-a-b)=0 $$ $$ \lambda_1=1,\quad \lambda_2=1-a-b $$ Собственные векторы $$ (P- E)\,H_1 = \begin{pmatrix} - a & a \\ b & - b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad H_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ (P- (1-a-b)E)\,H_2 = \begin{pmatrix} b & a \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix} = 0 \quad\Rightarrow\quad H_2 = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix} $$ Таким образом, $$ P = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1-a-b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{b}{a+b} & \frac{a}{a+b} \\ \frac{-1}{a+b} & \frac{1}{a+b} \end{pmatrix} $$ $$ P_n = P^n = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & (1-a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{b}{a+b} & \frac{a}{a+b} \\ \frac{-1}{a+b} & \frac{1}{a+b} \end{pmatrix} $$ Поскольку $%|1-a-b| < 1$%, то $$ P_{\infty} = \lim_{n\to\infty}P^n = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{b}{a+b} & \frac{a}{a+b} \\ \frac{-1}{a+b} & \frac{1}{a+b} \end{pmatrix} $$

ссылка

отвечен 18 Июн '17 20:23

@all_exist, после слов "Таким образом" не очень понятно, не можете пояснить? А то море, солнце, горы..., а в этом дискомфорт. Я бы, конечно, в условиях сходимости просто из рекуррентного уравнения записал бы: $% a_{\infty} =a+a_{\infty} −aa_{\infty} −ba_{\infty}$% и получил $%a_{\infty} =a/(a+b), b_{\infty} =b/(a+b) $%. Или что-то не так?

(19 Июн '17 16:47) Urt

@Urt, после слов "Таким образом" - написано разложение матрицы $%P=CJC^{-1}$%, где $%J$% - жорданова форма, а $%C$% - матрица перехода, составленная из собственных векторов... дальше следствие этого разложения для возведения в степень...

.

Я бы, конечно, в условиях сходимости - я ничего не имею против рекуррентных соотношений... это просто другой вариант решения, который я использую в силу малого опыта использования рекуррентных соотношений...

(19 Июн '17 19:31) all_exist

@all_exist, спасибо!!! Только сейчас увидел $%C$% и $%C^{-1}$% - снова комфортное мироощущение!

(19 Июн '17 19:40) Urt

А то море, солнце, горы... - Крым?... )))

(19 Июн '17 20:04) all_exist
1

Не…, Анталья и ее окрестности: Памуккале, Каппадокия… Руководитель и штурман – внучка. Последние дни совсем близко. Покорили красотой каньон Гёйнюк и бухта Чирали: почти ночь, теплая, абсолютно прозрачная вода, пустой берег и… машина, безнадежно по двери закопавшаяся в песок… Случайно к яхтам на мотоциклах подъехала группа ребят и, заметив нас, вытащили машину. Радовались при этом не меньше, чем мы.

(19 Июн '17 20:38) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,527
×40

задан
17 Июн '17 22:08

показан
389 раз

обновлен
19 Июн '17 20:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru