Найти сумму квадратов длин прекций ребер единичного куба на плоскость перпендикулярную диоганали куба и проходящую через ее середину

задан 28 Янв '13 18:35

изменен 28 Янв '13 18:57

Deleted's gravatar image


126

@ЕленаYtq, что Вы сделали сами и что не получилось/не понятно?

(28 Янв '13 18:58) Deleted
1

Подобная задача уже была (поиск - в правом верхнем углу)

(28 Янв '13 19:41) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
4

alt text

Плоскость $%AB_1C$% перпендикулярна диагонали куба $%OD_1.$% Проекция ребра на плоскость, указанную в условии задачи, будет равна проекции на плоскость $%AB_1C$%. Но, проекция ребра куба на плоскость $%AB_1C$% - это $%B_1Q-$% радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника $%AB_1C; B_1Q=\sqrt{\frac{2}{3}}.$% Значит, сумма квадратов проекций трех ребер куба равна $%2.$%

ссылка

отвечен 28 Янв '13 20:05

изменен 29 Янв '13 19:22

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\vec{e_1}$%, $%\vec{e_2}$% и $%\vec{e_3}$% - три взаимно перпендикулярных единичных вектора, а $%\vec{f}$% - ещё один любой единичный вектор. Из разложения $$\vec f = (\vec f, \vec e_1)\vec e_1 + (\vec f, \vec e_2)\vec e_2 + (\vec f, \vec e_3)\vec e_3,$$ переходя к скалярным квадратам, получаем: $$(\vec f, \vec e_1)^2 + (\vec f, \vec e_2)^2 + (\vec f, \vec e_3)^2 = \vec f ^2 = 1.$$ Пусть $%p_1$%, $%p_2$% и $%p_3$% - проекции векторов $%\vec{e_1}$%, $%\vec{e_2}$% и $%\vec{e_3}$% на плоскость, перпендикулярную вектору $%\vec f$%. Тогда при каждом $%i$% по теореме Пифагора $$p_i^2 = 1 - (\vec f, \vec e_i)^2,$$ а значит, $$p_1^2+p_2^2+p_3^2=2.$$ Следовательно, сумма квадратов проекций трёх взаимно перпендикулярных единичных отрезков на любую плоскость не зависит от расположения плоскости и равна 2. Применим это утверждение к каждой тройке рёбер куба, сходящихся в одной из его 8-ми вершин, и сложим почленно все равенства. Тогда в полученной сумме каждое ребро будет встречаться дважды (по одному разу для каждой из двух вершин, являющихся его концами), и вся сумма будет равна удвоенной искомой сумме. Следовательно, искомая сумма квадратов проекций $$S=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 2 = 8,$$ причём ответ не зависит от выбранной плоскости.

ссылка

отвечен 29 Янв '13 18:20

изменен 29 Янв '13 20:44

Хорошее решение!

(29 Янв '13 20:22) DocentI

Спасибо. А предыдущий вариант этого же вопроса уже удалён. Старая ссылка - http://math.hashcode.ru/questions/12561/%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD/12569 , но она уже не работает.

(29 Янв '13 20:28) splen
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть плоскост $%\alpha$% проходит через точки $%O$%, и $%\alpha\perp B_1D. C_1E\perp \alpha, C_1F\perp B_1D.$% Отрезок $%OE$% проекция $%B_1C_1$% на плоскость $%\alpha.$% Ясно что $%OE=C_1F=B_1C_1sin\angle DB_1C_1=sin\angle DB_1C_1,$% а $%sin\angle DB_1C_1=\frac{DC_1}{B_1D}=\sqrt\frac{2}3. $%

Квадрат проекции одного ребра $%\frac{2}3.$% Имеется $%12$% ребер с равними проекциями на данный плоскость. Значит сумма квадратов всех проекциий будет $%12\cdot \frac{2}3=8$%

alt text

ссылка

отвечен 28 Янв '13 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,203
×2,150

задан
28 Янв '13 18:35

показан
4804 раза

обновлен
29 Янв '13 20:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru