математика - Найти сумму квадратов длин прекций ребер

Пусть $%\vec{e_1}$%, $%\vec{e_2}$% и $%\vec{e_3}$% - три взаимно перпендикулярных единичных вектора, а $%\vec{f}$% - ещё один любой единичный вектор. Из разложения $$\vec f = (\vec f, \vec e_1)\vec e_1 + (\vec f, \vec e_2)\vec e_2 + (\vec f, \vec e_3)\vec e_3,$$ переходя к скалярным квадратам, получаем: $$(\vec f, \vec e_1)^2 + (\vec f, \vec e_2)^2 + (\vec f, \vec e_3)^2 = \vec f ^2 = 1.$$ Пусть $%p_1$%, $%p_2$% и $%p_3$% - проекции векторов $%\vec{e_1}$%, $%\vec{e_2}$% и $%\vec{e_3}$% на плоскость, перпендикулярную вектору $%\vec f$%. Тогда при каждом $%i$% по теореме Пифагора $$p_i^2 = 1 - (\vec f, \vec e_i)^2,$$ а значит, $$p_1^2+p_2^2+p_3^2=2.$$ Следовательно, сумма квадратов проекций трёх взаимно перпендикулярных единичных отрезков на любую плоскость не зависит от расположения плоскости и равна 2. Применим это утверждение к каждой тройке рёбер куба, сходящихся в одной из его 8-ми вершин, и сложим почленно все равенства. Тогда в полученной сумме каждое ребро будет встречаться дважды (по одному разу для каждой из двух вершин, являющихся его концами), и вся сумма будет равна удвоенной искомой сумме. Следовательно, искомая сумма квадратов проекций $$S=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 2 = 8,$$ причём ответ не зависит от выбранной плоскости.

Пусть плоскост $%\alpha$% проходит через точки $%O$%, и $%\alpha\perp B_1D. C_1E\perp \alpha, C_1F\perp B_1D.$% Отрезок $%OE$% проекция $%B_1C_1$% на плоскость $%\alpha.$% Ясно что $%OE=C_1F=B_1C_1sin\angle DB_1C_1=sin\angle DB_1C_1,$% а $%sin\angle DB_1C_1=\frac{DC_1}{B_1D}=\sqrt\frac{2}3. $%

Квадрат проекции одного ребра $%\frac{2}3.$% Имеется $%12$% ребер с равними проекциями на данный плоскость. Значит сумма квадратов всех проекциий будет $%12\cdot \frac{2}3=8$%