Решите уравнение в целых числах ф(n^2)=500

задан 18 Июн '17 11:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуемся следующим свойством функции Эйлера:$$\varphi(n^m)=n^{m-1}\varphi(n)$$ Тогда $$\varphi(n^2)=n\varphi(n)=500=2^2\cdot5^3$$ Значит $%n$% делитель числа $%2^2\cdot5^3$%, а это число имеет всего $%3\cdot4=12$% делителей, которые уже легко перебрать, но можно и воспользоваться таким свойством функции Эйлера: $$\varphi(2^a5^b)=2^{a+1}5^{b-1}$$ Тогда, все сводится к такому: $$2^a5^b2^{a+1}5^{b-1}=2^2\cdot5^3$$ $$2^{2a+1}5^{2b-1}=2^2\cdot5^3$$ Таких чисел нет.

То есть, теперь осталось перебрать только степени двойки и пятерки

Ответ: $%n=25$%

($%25\varphi(25)=25\cdot25(1-1/5)=25\cdot25\cdot\frac45=500$%)

ссылка

отвечен 18 Июн '17 14:37

изменен 18 Июн '17 14:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,477
×909

задан
18 Июн '17 11:33

показан
517 раз

обновлен
18 Июн '17 14:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru