Найти предел $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2+1^2} + \frac{2}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2}$$ Метод понятен, интересны технические моменты, потому что на контроле не получилось быстро решить.

задан 18 Июн '17 20:20

Предел суммы, равен суммы пределов, и тут вроде знаменатель всегда больше числителя ассимпт., получаем 0...

(18 Июн '17 20:27) Williams Wol...

@Williams Wol..., тут бесконечное число слагаемых, так что правило "предел суммы есть сумма пределов" не работает

(18 Июн '17 20:29) no_exception

А, не заметил.

(18 Июн '17 20:30) Williams Wol...

Метод понятен - а какой метод имелся ввиду?... (просто мне пришёл в голову тот же способ, что описан @falcao в ответе... и там всё должно получаться сразу)...

(18 Июн '17 20:33) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь напрашивается способ сведения к интегральным суммам. Слагаемое номер $%k$% имеет вид $%\frac{k}{n^2+k^2}=\frac1n\cdot\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$%. Вводим функцию $%f(x)=\frac{x}{1+x^2}$% на отрезке $%x\in[0;1]$%, и тогда выражение под знаком предела имеет вид интегральной суммы $%\frac{f(1/n)+f(2/n)+\cdots+f(n/n)}n$% при разбиении отрезка на $%n$% равных частей.

При $%n\to\infty$% такие суммы стремятся к значению определённого интеграла $%\int\limits_0^1f(x)\,dx=\int\limits_0^1\frac{x\,dx}{1+x^2}=\frac12\ln2$% (первообразная равна $%\frac12\ln(1+x^2)$%).

ссылка

отвечен 18 Июн '17 20:30

Все, спасибо, я зациклился на вынесении 1/n^2 за скобку и подумал, что с заданием что-то не так.

(18 Июн '17 20:47) MaxxWell

@MaxxWell: тут ориентир примерно такой: если 0<k<=n, то k/n принадлежит отрезку [0;1], то есть это "икс". Значит, через него надо выражать, а тогда числитель делим на n, знаменатель на n^2, и отдельно возникает 1/n перед суммой.

(18 Июн '17 23:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

А какие технические моменты? Удобно воспользоваться интегралом, ведь $$ \sum\limits_{k = 1}^n \frac{k}{n^2 + k^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} $$. Значит перед нами не что иное, как интегральная сумма для функции $%\frac{x}{1 + x^2}$%, отвечающая равномерному разбиению отрезка $%[0;1]$% на $%n$% частей, причем средняя точка $%\xi_n = 1/n$%. Так как функция $%\frac{x}{1 + x^2}$% интегрируема, будучи непрерывной, то предел равен $%\int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} dx$%

ссылка

отвечен 18 Июн '17 20:34

1

@no_exception, причем средняя точка - простите моё невежество... а это Вы про что?...

(18 Июн '17 20:37) all_exist

@all_exist, ой, там должно быть i/n

(3 Июл '17 13:36) no_exception
1

@no_exception: я так понимаю, имелось в виду, что на k-м отрезке выбирается точка xi_k=k/n. Получается что-то из серии "не в Спортлото", а в преферанс, и не выиграл, а проиграл" (с) :)

(3 Июл '17 17:09) falcao

@falcao, ну ладно вам)

(3 Июл '17 23:48) no_exception
1

@no_exception: нет-нет, я как раз к тому, что в конечном счёте всё верно, как и в соответствующем анекдоте, а "мелочи" как бы уже не важны! :)

(4 Июл '17 0:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,264
×135
×112

задан
18 Июн '17 20:20

показан
2353 раза

обновлен
4 Июл '17 0:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru