НОД(a,b) = 4 числа a и b - натуральные 1) Какие значения может принимать НОД(a,8b); 2) Какие значения может принимать НОД(4a - 2b,6b - 8a); 3) Укажите неравенство между НОД(a^2,b), НОД(a,b^2), НОД(a^2,b^2);

задан 18 Июн '17 22:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

По условию, a=4m, b=4n, где m,n взаимно просты.

1) НОД(a,8b)=НОД(4m,32n)=4НОД(m,8n). У чисел m,8n общими делителями могут быть только 1,2,4,8. Их НОД принимает такие же значения. Итого получаются 4 возможности для исходных чисел: 4,8,16,32. Все они возможны -- достаточно взять n=1 и m=1,2,4,8 соответственно.

2) НОД(4a-2b,6b-8a)=8НОД(2m-n,3n-4m). У чисел в скобках НОД равен НОД(2m-n,3n-4m)=НОД(2m-n,3n-4m+2(2m-n))=НОД(2m-n,n)=НОД(2m,n), то есть может принимать значения 1 или 2, аналогично предыдущему. Поэтому в ответе будет 8 или 16.

3) НОД(a^2,b)<=НОД(a^2,b^2), а также НОД(a,b^2)<=НОД(a^2,b^2). При этом меньшее из чисел делит большее.

ссылка

отвечен 19 Июн '17 0:08

@falcao Какие свойства НОД нужно знать, чтобы проводить такие преобразования НОД(2m-n,3n-4m)=НОД(2m-n,3n-4m+2(2m-n))=НОД(2m-n,n)=НОД(2m,n)

(19 Июн '17 0:43) GiBi

@GiBi: я даже хотел это особо отметить, но не стал. Тут использовано, фактически, всего одно свойство. Оно таково: если есть два числа, то их НОД не изменится, если одно число оставить без изменения, а к другому прибавить любое его кратное. Например: НОД(u,v)=НОД(u,v+qu), где q -- любое целое. Остальное тут -- обычные тождественные преобразования. А это свойство важное, оно используется при обосновании алгоритма Евклида.

(19 Июн '17 0:53) falcao

@falcao Спасибо за объяснение

(19 Июн '17 1:01) GiBi
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,476

задан
18 Июн '17 22:59

показан
836 раз

обновлен
19 Июн '17 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru