Дан многочлен p(x) = 8x^3+8x^2 - 8x -5.

  1. Является ли многочлен неразложимым над полем рациональных чисел?
  2. Разложить p(x) на неразложимые множители над полем Z3?
  3. Рассмотрим отношение эквивалентности на множестве всех многочленов над полем Z3: M(x) = N(x) mod p(x). Сколько классов эквивалентности оно имеет.

задан 19 Июн '17 0:26

изменен 19 Июн '17 1:04

Первое слагаемое равно x^3? Если да, то нужна "крышечка", а не "звёздочка". Также полезно было бы убрать все "кракозябры" в виде точек справа (и не использовать Word для набора текстов).

(19 Июн '17 0:46) falcao

@falcao Здесь довольно необычно происходит набор текста, сейчас исправлю

(19 Июн '17 0:47) GiBi

@GiBi: это правда, что тут есть свои правила (редактор особым образом воспринимает "звёздочки" и подчёркивания), но лучше не применять никаких спецсредств.

(19 Июн '17 0:49) falcao

@falcao В задании все-таки стоит символ "*".

(19 Июн '17 0:58) GiBi

@GiBi: тогда это или опечатка, или бессмыслица. Я буду исходить из того, что это возведение в куб.

(19 Июн '17 1:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Легко видеть, что приводимость многочлена степени 2 или 3 над полем равносильна наличию корня в этом поле. Для нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами есть хорошо известный алгоритм. Но здесь полезно сначала сделать замену y=2x, от которой свойство приводимости никак не зависит. Получится более простой многочлен, а именно, y^3+2y^2-4y-5. Его рациональными корнями могут быть только целые числа, а именно, 1, -1, 5, -5 (делители старшего члена). Без применения замены, пришлось бы перебирать большее число вариантов. Здесь сразу ясно, что y=-1 является корнем, и можно поделить на y+1, получая разложение (y+1)(y^2+y-5). В исходном виде будет (2x+1)(4x^2+2x-5).

2) Многочлен уже разложен над Z. Берём это разложение, и упрощаем коэффициенты, заменяя их остатками от деления на 3. Получится (-x+1)(x^2+2x-2). Квадратный трёхчлен имеет корень x=-1 по модулю 3. Можно это сразу увидеть, заменив -2 на 1, получая полный квадрат. Итого будет -(x-1)(x+1)^2 над полем из трёх элементов.

3) Многочлены эквивалентны <=> их разность делится на p(x) <=> остатки от деления на p(x) одинаковы. Поэтому классов будет ровно столько, сколько остатков. Последние имеют степень < deg p = 3, то есть их общий вид есть a+bx+cx^2, где a,b,c из Z_3. Это даёт 27 классов.

ссылка

отвечен 19 Июн '17 1:36

@falcao Для ответа на 1 вопрос достаточно ли использовать только критерий Эйзенштейна?

(19 Июн '17 1:54) GiBi

@GiBi: нет, потому что критерий Эйзенштейна работает только в одну сторону, и иногда помогает доказать неприводимость. Здесь это в принципе невозможно, так как ответ противоположный -- многочлен приводим. Надо иметь в виду, что если при помощи критерия Эйзенштейна (строго говоря, он есть не критерий в полном смысле слова, а всего лишь достаточное условие) не удаётся доказать неприводимость, то это ничего не означает. Многочлен может оказаться и таким, и таким.

(19 Июн '17 2:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,480
×415

задан
19 Июн '17 0:26

показан
1086 раз

обновлен
19 Июн '17 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru