3.4 Дан многочлен Р(х) = (х^2+1)(х+1)^3(х^6-1)
        3.4.1 Найдите многочлeн над полем рациональных чисел, равный НОД(Р,Р',Р'').
        3.4.2 Сколько различных квадратных делителей имеет многочлен Р над полем вычетов по модулю 37?

задан 19 Июн '17 1:58

изменен 19 Июн '17 19:11

Когда в задании так много пунктов, его даже не хочется читать до конца. Давайте сосредоточимся на способах решения, и на том, что непонятно. В пункте 3.4.1 искать НОД прямым способом неудобно. Тогда надо доразложить многочлен x^6-1 на неприводимые сомножители при помощи формул сокращённого умножения. Потом использовать тот факт, что корни кратности 3 и более дают вклад в НОД с производными. Если кратность была k, то у НОД она будет k-2. Это всё следует из общей теории. Остальное надо обсуждать отдельно.

(19 Июн '17 2:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Давайте тогда доразберём второй пункт. У нас уже есть разложение x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1), что вместе со всем остальным даёт (x+1)^4(x-1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1). Над полем Z_{37} нужно проверить, имеют ли в нём корни квадратичные многочлены.

Для x^2+1 мы получаем корень, так как -1 является квадратом по модулю p=4k+1. Здесь также сразу видно, что x^2+1=x^2-36=(x-6)(x+6) над данным полем.

Далее, x^2-x+1 можно домножить на 4, выделяя полный квадрат: (2x-1)^2+3. Он обладает корнем в Z_p <=> -3 является квадратом по модулю p. Это можно проверить или вручную, или через свойства символа Лежандра. Последнее даёт (-3/37)=(-1/37)(3/37)=(3/37)=(37/3)=(1/3)=1. Беря числа -3, 34, 71, ... с периодом 37, доходим до точного квадрата 256. Отсюда находим корень: 2x-1=16, 2x=17=-20, x=-10. Второй корень: 2x-1=-16, 2x=-15=22, x=11. Итого x^2-x+1=(x+10)(x-11) по модулю 37 (свободный член равен -110, то есть 1, так как 111 кратно 37).

Для x^2+x+1 посредством замены x на -x имеем (x-10)(x+11). В итоге получили разложение на линейные множители.

ссылка

отвечен 19 Июн '17 20:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,476
×415

задан
19 Июн '17 1:58

показан
687 раз

обновлен
19 Июн '17 20:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru