|
Рассмотрим все 6значные наборы в 8-ичной системе. Пусть А - множество тех наборов, у которых сумма первых двух цифр равна сумме оставшихся. И пусть В - множество тех наборов, у которых сумма цифр фиксирована и равна N.
задан 19 Июн '17 17:44 
log0 |
|
Пусть $%x_1,...,x_6$% -- разряды числа, где каждое $%x_i$% может принимать значения от 0 до 7. Рассмотрим число наборов с условием $%x_1+x_2=x_3+x_4+x_5+x_6$%. Заменим переменные, полагая $%y_1=7-x_1$%, $%y_2=7-x_2$%. Новые переменные принимают те же самые значения от 0 до 7. Уравнение при этом переписывается в виде $%y_1+y_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14$%. Поэтому достаточно положить $%N=14$%. Теперь осталось подсчитать количество наборов с суммой 14. Если бы у нас не было ограничений на значений переменных сверху, то ответом было бы число сочетаний с повторениями из 6 по 14, которое согласно известной формуле из комбинаторики равно $%C_{6+14-1}^{14}=C_{19}^{14}=C_{19}^5$%. Однако у нас среди наборов есть "лишние", то есть такие, где одна или несколько переменных принимают значение 8 и более. Сразу можно сказать, что переменная с таким свойством у нас всего одна, так как 8+8 уже дают сумму большую 14. Предположим, что значение первой переменной не меньше 8. Вычтем 8 из этой переменной и из общей суммы. В итоге получается число сочетаний с повторениями из 6 по 6, которое равно $%C+{11}^6=C_{11}^5$%. Такое количество "лишних" решений будет для каждой из наших 6 переменных, поэтому из общего количества нужно вычесть найденную величину, умноженную на 6. Это даст ответ $%C_{19}^5-6C_{11}^5=8856$%. отвечен 19 Июн '17 19:35 
falcao |