У Погорелова есть в планиметрии аксиома - каждый угол имеет меру. мера угла больше нуля(стр. 12). В той же тригонометрии я сплошь и рядом вижу углы равные нулю и большие пи радиан. В учебнике Киселева упоминается что ограничений на размер углов нет(Физматлит 2004) (стр. 19). Вопрос. Кому мне верить? Если верить Погорелову то таких углов быть не может(в частности нулевого). Если ему не верить то что тогда из его аксиом и теорем вообще истинно? Я потратил кучу времени на его геометрию а теперь так запутался что не могу разобраться. Может я что то не понял(что то что подразумевается а мне тупоголовому никак в голову не приходит). Прошу развернутого и законченного ответа. Заранее спасибо.

задан 19 Июн '17 17:49

А что такое угол равный 0? Развернутый?

(19 Июн '17 18:12) Williams Wol...

в тригонометрии угол имеет нулевую меру если луч не совершив никакого вращения остался в том же положении. тригонометрия Новоселова. стр 4. 1963г

(19 Июн '17 18:15) MA01

Скорее всего, это что-то из разной оперы, я, конечно, не эксперт в таких вопросах, но скорее всего углы действительно не имеют нулевого значения, ведь ноль представляется 180 градусов, но подождем ответа реальных математиков :)

(19 Июн '17 18:17) Williams Wol...

я тоже думал что геометрия и тригонометрия имея одинаковые определения углов наделяют их разными свойствами. но планиметрия Киселева опровергла это предположение.

(19 Июн '17 18:20) MA01

Хотя, тут пишут вот это: у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);

(19 Июн '17 18:20) Williams Wol...

Не посоветуете ли хороший учебник элементарной геометрии? Мне надо разобраться в противоречиях у Погорелова и перестроить то что в этом нуждается.

(19 Июн '17 23:02) MA01

@MA01: так возьмите школьные учебники под редакцией Колмогорова -- лучше в этом смысле пока никто ничего не придумал. А по стереометрии -- под редакцией З.А.Скопеца. Я вот как раз по этим учебникам учился.

(19 Июн '17 23:48) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нужно для начала иметь в виду, что есть аксиоматика Евклида (несовершенная, по сегодняшним стандартам), и есть аксиоматика Гильберта (строго построенная, но сложная для школьного уровня). Подход Погорелова является в некотором роде промежуточной попыткой ввести для школы какие-то мало-мальски строгие аксиомы. Но во всех деталях и со всей строгостью этого сделать нельзя, поэтому приходится искать некоторый компромисс.

Та часть изложения, которая посвящена измерению углов, в первую очередь касается случая "настоящих" углов, мера которых на самом деле положительна. Конечно, следует где-то сделать оговорку, что угол величиной 0 градусов тоже возможен -- ведь в геометрии такие углы могут возникать. Однако акцент в первую очередь делается на том, как углы измерять, а тогда с углом величиной 0 градусов всё и так понятно. С другой стороны, я считаю, что сам подход в духе учебников Погорелова, когда совпадающие прямые то ли считаются параллельными, то ли нет, вводит читателя в заблуждение, и таким образом поступать весьма нежелательно. Читая такие книги, надо иметь в виду, что они проникнуты не современным сознанием, где значительное внимание уделяется логической непротиворечивости, а старым подходом, согласно которому с углами типа 0 градусов "всё ясно", и эти случаи можно особо не выделять.

Теперь о терминологии. Есть понятие угла как геометрической фигуры. Если на плоскости даны два различных луча, то они делят плоскость на две части. Каждая из них, взятая вместе с границей, называется углом. Величина угла в этом смысле слова находится строго между 0 и 360 градусами. Удобно добавить соглашение, что два луча могут совпадать, и тогда одна "часть" представляет собой луч, что также есть вырожденный случай "угла" величиной 0 градусов, а другая часть есть вся плоскость. В этом случае говорят о полном угле, считая, что его величина равна 360 градусам.

Далее, есть другое понятие, которое называется угол поворота. Его значение может быть любым действительным числом. Положительным значениям соответствует поворот против часовой стрелке, отрицательным -- по часовой. При этом повороты, углы которых отличаются на величину, кратную 360 градусам, считаются равными, так как приводят к одному и тому же преобразованию плоскости. К примеру, поворот на 1000 градусов равен повороту как на -80, так и повороту на 280 градусов.

Есть ещё понятие угла между прямыми. Здесь берётся наименьшее из двух значений, и такой угол может быть равен чему-то в пределах от 0 до 90 градусов (включительно).

Наконец, есть понятие угла между (ненулевыми) векторами. Здесь значения принимаются от 0 до 180 градусов, также включительно.

ссылка

отвечен 19 Июн '17 20:21

катастрофа... я расчитывал использовать эту геометрию как базис в термехе да и вообще везде где нужна элементарная геометрия. я сталкивался во введениях с комментариями о том что был переход от Евклида с его 5 аксиомами к Гильберту с его 20 т.к. считалось что часть операций которые "подразумевались" на самом деле вносили неопределенность, но посчитал что преемственность соблюдена, а теперь выходит что геометрия Погорелова сплошь напичкана противоречиями? первые подозрения у меня возникли когда у него были введены суждения о том когда отрезок пересекает прямую а когда нет.

(19 Июн '17 20:38) MA01

Размышляя о геометрических фигурах в терминах теории множеств и комбинаторики я столкнулся со случаем когда конец отрезка может лежать на прямой и объяснения как тогда относятся прямая и отрезок я не нашел но подумал что чего то не понимаю. что же теперь делать? мне нужна хорошая геометрия для инженерных дисциплин.

(19 Июн '17 20:38) MA01

@MA01: тут никакой "катастрофы" нет, а есть архаичный стиль изложения. Лично мне он ужасно не нравится, но надо иметь в виду, что противоречия там возникают чисто формальные, для каких-то вырожденных случаев. Достаточно знать современный "пакет" определений, и тогда будет видно, как и что. От того, что Погорелов где-то недорассмотрел угол величиной 0 градусов, по сути дела, ничего не изменилось. Да, это "моветон", конечно, но последствия тут не больше, чем если бы кто-то не вытер рот после еды :)

Как говорится, "надо быть выше этого" (с) :) А для инженерии вырожденные случаи не нужны.

(19 Июн '17 20:49) falcao

перечитав ответ я понял что ответы я получил. спасибо за помощь

(19 Июн '17 20:51) MA01

не соглашусь. речь идет о наборе суждений истинность которых мы принимаем за основу всех остальных суждений. если речь идет о том что например что отрезок пересекает прямую если его концы лежат в разных ее плоскостях я имею полное право сказать что если конец отрезка лежит на прямой, то отрезок ее не пересекает. уже здесь видны катастрофические последствия выводов из такой модели какого либо процесса или объекта. мы делаем неверные выводы и получаем ложь в своем моделировании объекта!

(19 Июн '17 20:56) MA01

@MA01: если начать рассуждать в отрыве от здравого смысла (например, если по таким принципам будет рассуждать машина), то получатся противоречия. Но человек рассуждает несколько иначе. Строго говоря, мы ведь формальной логикой вообще не очень-то и пользуемся. Нужно следить за смыслом понятий: "пересекает" может означать "пересекает во внутренней точке". Тогда всё в порядке. То же с совпадающими прямыми. А уж в инженерном деле вообще строгой логикой никто никогда не пользовался. При том, что античные сооружения стоят как миленькие :)

(19 Июн '17 21:01) falcao

у меня просто склад ума такой что я стараюсь разложить все по полочкам так чтобы не было противоречий. брат считает что я слишком дотошен а меня коробит когда кто то что то "подразумевает". я не слишком то догадлив чтобы зачастую понять или догадаться что там подразумевается.

(19 Июн '17 21:07) MA01

@MA01: я в этом смысле устроен точно так же, как Вы. Но это вопрос всего лишь логического (и психологического) комфорта, не более того. Он тоже в каком-то смысле важен, но вовсе не в смысле надёжности инженерных сооружений. Нет ни одного случая в истории, когда нечто рухнуло из-за недосмотров в логике рассуждений. А вот из-за "человеческого фактора" -- сколько угодно.

Если Вы так подходите к делу, то я могу это лишь одобрить, но тогда не надо читать Погорелова (да и Киселёва тоже) Я учился по Колмогорову, и там всё было более чем "с иголочки". Потом в школу снова вернули "старьё".

(19 Июн '17 21:11) falcao

я очень много времени потратил на Погорелова думая что он исчерпывающе раскрыл тему. Колмогорова я тоже пробовал использовать но он оттолкнул неструктурированностью материала. После изучения логики(не математической, а еще той старой Сталинской, которую прекратили преподавать при Хрущеве) у меня сложился подход к изучению материала в виде вычленения определений и истинных суждений в виде аксиом, теорем и выводов из них. Этим меня подкупил Погорелов.

(19 Июн '17 21:25) MA01

Я совсем не ожидал что столкнусь с тем с чем столкнулся. Понятно теперь что те суждения и определения которые он выдвинул мне придется уточнять используя Гильберта, Колмогорова и т.д.

(19 Июн '17 21:25) MA01

@MA01: а чем Вас не устроил Колмогоров? Что подразумевается под "структурированностью"? Дело в том, что в отличие от всего предыдущего, я не разделяю любви к классификациям, поскольку они вторичны и искусственны. И польза от них есть далеко не всегда. Строгость -- да, но в смысле математической логики. Формальная логика тоже архаична, и у неё слишком много недостатков. Самое главное, как я считаю, это понимать, "откуда что берётся".

(19 Июн '17 21:30) falcao

структурированность - четкое выделение понятий и истинных суждений тем или иным способом(абзацами, курсивом. рамками и т.д.). Позволяющее ученику быстро и эффективно отделить материал требующий запоминания от материала демонстрирующего на примерах свойства понятий и все такое. и последовательность изложения то же важна. этим он мне и не понравился. сейчас четко мысль не выражу.

(19 Июн '17 21:48) MA01

@MA01: Вы всё понятно описали, то есть я прекрасно уловил мысль. Ещё раз убедился в том, что это крайне не близкая мне область. Она на стыке педагогики и "оформительства". В то время как мне близка только методика: как правильно излагать материал, в какой последовательности, и так далее. А вот схемы, таблицы -- это совершенно не моё, я не умею в таком виде ни материал давать, ни сам этого не воспринимаю.

По поводу определений, аксиом, истин и прочего: помимо всего этого, есть ещё сфера соглашений. На неё приходится процентов 25 материала как минимум, но об этом говорить почти не принято.

(19 Июн '17 22:25) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920

задан
19 Июн '17 17:49

показан
870 раз

обновлен
19 Июн '17 23:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru