Как посчитать такую сумму ?: $% 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..+ n^2 $%

Пробовал дифференцировать и потом брать интеграл, получается $% n^3/3 + n^2/2 + С $%, каким образом найти С не представляю.

задан 19 Июн '17 22:26

изменен 19 Июн '17 22:29

Один из способов: рассмотреть несколько первых чисел, угадать формулу (мы знаем, что это кубический многочлен). После этого доказать по индукции. Или так: при суммировании выражений k(k+1) от 1 до n (а также k(k+1)(k+2)) формулы выглядят очень просто и естественно, а тогда сумму k^2 можно получить как разность сумм k(k+1) и k.

Ответом здесь будет n(n+1)(2n+1)/6. Главный член n^3/3, то есть интегрирование даёт верное приближённое значение.

(19 Июн '17 22:34) falcao

@falcao а через дифференцирование и интегрирование можно как-нибудь получить ответ?просто я пробовал так и получается что-то близкое к ответу, но не хватает слагаемого n/6, которое я не знаю откуда может получиться

(19 Июн '17 22:38) PavLee

@PavLee: через дифференцирование мы получаем только приближённое значение, потому что сумма площадей прямоугольников хотя и близка к площади криволинейной фигуры, но не равна ей. За счёт этого и получается расхождение.

(19 Июн '17 22:45) falcao

Кстати, это конечная сумма, а не ряд (это по поводу заголовка).

(20 Июн '17 1:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^n((k+1)^3-k^3)=\sum_{k=1}^n(3k^2+3k+1)=3\sum_{k=1}^nk^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n.$% Осталось выразить искомую сумму из написанного уравнения.

ссылка

отвечен 20 Июн '17 0:04

изменен 20 Июн '17 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
19 Июн '17 22:26

показан
350 раз

обновлен
20 Июн '17 1:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru