Решить в целых неотрицательных числах уравнение: $$(a!)!+b!+20=c^3$$

задан 20 Июн '17 1:17

1

Не вполне понятна здесь роль двойного факториала. Что будет, если его заменить на одинарный? Вроде бы, всё анализируется точно так же.

(20 Июн '17 8:59) falcao
1

@falcao, конечно можно сразу было бы отбросить внешний факториал (a!)!, что я и собирался сделать. но при этом в п.1. появилось бы 3 случая, хотя это небольшая "потеря".

(20 Июн '17 10:59) Urt
1

@Urt: у меня вопрос касался условия, то есть мне были непонятны мотивы появления двойного факториала.

(20 Июн '17 15:02) falcao
1

@falcao, могу только предположить. Поскольку задачка школьная (уровня 7-8 классов), то целью такого "усложнения" могло быть: привитие навыков к использованию факториалов в разных сочетаниях, чуть-чуть запутать школьника. К такого типа "усложнению" здесь можно отнести также условие "целых неотрицательных чисел" вместо натуральных, которое направлено на выявление факта, знает ли ученик, что 0!=1. Мне удалось преодолеть эти "хитрые" ловушки :).

Думаю, что более весомых аргументов автор темы не представит, а автор задачи - не знаю. Конечно, интересно было с ними (аргументами) ознакомиться.

(20 Июн '17 16:05) Urt
1

@Urt: "ловушка" на предмет 0!=1 так же точно работает и при одиночном факториале. У меня такое соображение тоже мелькало, но всё равно непонятно. Если бы было что-то типа (a!)!+b!+3=c^3, то ещё ладно.

(20 Июн '17 16:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
6

При $% a>2 ,b> 3 $% левая часть четна, но не делится на 8, поэтому уравнение не имеет решений. Рассмотрим возможные случаи:

1.$% (a!)!=1, 2; b $% -- произвольно:

1.1. $% b!+21=c^3. $% Здесь достаточно проверить лишь $% b\le 5 $% (в противном случае левая часть уравнения делится на 3, но не делится на 9). Имеем одно решение $% b=3, c=3 $% и с учетом $% (a!)!=1 $% можем записать решения $% (a,b,c): (0,3,3), (1,3,3). $%

1.2. $% b!+22=c^3. $% Здесь достаточно проверить лишь $% b\le 3 $% (в противном случае левая часть уравнения делится на 2, но не делится на 4). Решений нет.

2.Случаи $% b=1, 2, 3; a $% -- произвольно:

2.1. Случаи $% b=1, 2 $% рассматривать нет смысла, так как они аналогичны пп. 1.1, 1.2 с той лишь разницей, что требуется $% (a!)!=6,5, $% что не выполняется.

2.2. $% b=3, (a!)!+26= c^3. $% Достаточно проверить $% a=2 $% (для $% a=0 $% и $% a=1 $% решения получены в п.1, а при $% a>2 $% левая часть делится на 2, но не делится на 4). Новых решений нет.

В итоге имеем решения: (0,3,3), (1,3,3) и это все.

ссылка

отвечен 20 Июн '17 4:09

изменен 20 Июн '17 4:16

@Urt, большое спасибо!

(21 Июн '17 10:39) Аллочка Шакед

@Urt а если немного видоизменить уравнение $%a!!$% + $%b!$% + $%9613$% = $%c^3$% имеет ли оно решение и если да то сколько таких решений.

(22 Июн '17 0:06) night-raven

@void_pointer, вообще говоря, подобные уравнения могут составлять сложную проблему. Но Ваш вариант задачи представляется весьма простым. Возможно, для ее решения даже не потребуется использовать вычислительные средства.

(24 Июн '17 0:26) Urt

@void_pointer, к предыдущему добавлю следующее. Я просто определил путь решения Вашей задачи, который приводит к простому нахождению всех решений уравнения. Решение уравнения имеется, а сколько - если будет такой вопрос, я более тщательно проанализирую частные случаи...

(26 Июн '17 23:22) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×68

задан
20 Июн '17 1:17

показан
1929 раз

обновлен
26 Июн '17 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru