1
1

Найти мн-н степени 3, корнями которого являются 4-ые степени комплексных корней многочлена $%2x^3-x^2+2$%

задан 20 Июн '17 16:09

изменен 20 Июн '17 16:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть дан многочлен $%x^3+ax^2+bx+c$%. Выведем общий формулы для коэффициентов многочлена, корнями которого являются квадраты комплексных корней данного многочлена.

Обозначим корни стандартно через $%x_1$%, $%x_2$%, $%x_3$%. Тогда по теореме Виета $%\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-a$%, $%\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b$%, $%\sigma_3=x_1x_2x_3$%. Тогда для квадратов корней получается $%x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=a^2-2b$%; $%x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=b^2-2ac$%; $%x_1^2x_2^2x_3^2=c^2$%.

Таким образом, тройка коэффициентов $%(a,b,c)$% переходит в тройку коэффициентов $%(-a^2+2b,b^2-2ac,-c^2)$%. Поскольку у нас четвёртые степени, применяем преобразование дважды к приведённому многочлену: $%(-\frac12;0;1)\to(-\frac14;1;-1)\to(\frac{31}{16};\frac12;-1)$%. Умножая на 16, получаем в ответе многочлен $%16x^3+31x^2+8x-16$%.

ссылка

отвечен 20 Июн '17 19:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$ F(z^4) = (z^4-a^4)(z^4-b^4)(z^4-c^4)= $$ $$ = \Big[(z-a)(z-b)(z-c)\Big]\cdot\Big[(z+a)(z+b)(z+c)\Big]\cdot $$ $$ \cdot\Big[(z-ia)(z-ib)(z-ic)\Big]\cdot\Big[(z+ia)(z+ib)(z+ic)\Big] = $$ $$ =f(z)\cdot \Big[-f(-z)\Big]\cdot\Big[i^3f\left(\frac{z}{i}\right)\Big]\cdot\Big[\frac{1}{i^3}f\left(iz\right)\Big] $$ где $%f$% - исходный многочлен...

ссылка

отвечен 20 Июн '17 19:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
20 Июн '17 16:09

показан
659 раз

обновлен
20 Июн '17 19:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru