|
Найти значение выражения $$\frac{xy+2yz+3xz}{\sqrt{3}}$$ где $%x, y, z$% - положительные числа, удовлетворяющие системе $$x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{3}=25$$ $$z^{2}+\frac{y^{2}}{3}=16$$ $$x^{2}+z^{2}+xz=9$$ задан 29 Янв '13 17:20 
ЕленаYtq |
|
Выведем из данных равенств некоторые следствия. Прежде всего, если из первого уравнения вычесть второе и третье, то получится $%xy=z(x+2z)$%. Возведём это равенство в квадрат: $%x^2y^2=z^2(x^2+4xz+4z^2)$%, и теперь удобно прибавить к обеим частям $%3x^2z^2$%, после чего имеем $%x^2(y^2+3z^2)=4z^2(x^2+xz+z^2)$%. Упрощая левую часть с учётом второго уравнения, а правую -- с учётом третьего, имеем $%48x^2=36z^2$%, то есть $%4x^2=3z^2$%. Ввиду того, что числа по условию положительны, имеем $%x=\sqrt{3}z/2$%. Далее, $%xy=zx+2z^2=zx+8x^2/3$%, и после сокращения на $%x\ne0$% выражаем $%y=z+8x/3$%. Теперь, заменяя $%y$% в выражении $%f=xy+2yz+3xz$% и избавляясь далее от $%xz$% с учётом третьего уравнения, имеем: $$f=(x+2z)\left(z+\frac{8x}3\right)+3xz=\frac{8x^2+28xz+6z^2}3=84-\frac{20x^2+22z^2}3=84-\frac{37z^2}3.$$ Осталось найти $%z^2$%, что нетрудно сделать из третьего уравнения, которое теперь принимает вид $$z^2\left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=9,$$ из чего выводим, что $$z^2=\frac{36}{7+2\sqrt{3}}=\frac{36(7-2\sqrt{3})}{37}.$$ Это приводит к равенству $%f=84-12(7-2\sqrt{3})=24\sqrt{3}$%. Осталось разделить на $%\sqrt{3}$% и получить окончательный ответ: $$\frac{xy+2yz+3xz}{\sqrt{3}}=24.$$ отвечен 29 Янв '13 23:31 
falcao |
|
Геометрическая подоплёка задачи: Возьмём на плоскости произвольную точку $%M$% и отложим от неё три отрезка $%x,y/\sqrt{3}$% и $%z$% так, чтобы $%\angle xMy=150^{\circ},\angle yMz=90^{\circ},\angle zMx=120^{\circ}$%. Обозначим концы отрезков $%A,B$% и $%C$% соответственно. Тогда из условия задачи и теоремы косинусов следует, что $%AB=5,BC=4$% и $%CA=3$%. Далее, $$6=S(\triangle ABC)=S(\triangle AMB)+S(\triangle BMC)+S(\triangle CMA)=$$ $$=\frac{1}{2}x\frac{y}{\sqrt{3}}\sin150^{\circ}+\frac{1}{2}\frac{y}{\sqrt{3}}z\sin90^{\circ}+\frac{1}{2}zx\sin120^{\circ}=\frac{1}{4}\frac{xy+2yz+3zx}{{\sqrt{3}}},$$ $$\frac{xy+2yz+3zx}{{\sqrt{3}}}=24.$$ отвечен 14 Дек '14 13:08 
EdwardTurJ |
Формулы из редакторов нужно вставлять между значками "$" так: $$ формула $$.