Существует ли такое число п, если каждое натуральное число, которое превышает п, можно разбить на пять взаимно простых слагаемых, больших за единицу?

задан 20 Июн '17 23:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача с действующего соревнования - XX Всеукраинский турнир. Подождите до ноября 2017 года.

Ноябрь 2017 наступил. Решение. Докажем, что для произвольного натурального $%m\ge2$% существует такое число $%n$%, что каждое натуральное число, которое превышает $%n$%, можно разбить на $%m$% взаимно простых слагаемых, больших за единицу.

Воспользуемся усиленным постулатом Бертрана:

Между числами $%2N$% и $%3N$%, где $%N\ge2$% - натуральное, всегда существует простое число.

Покажем, что можно положить $%n=10^{m-1}$%. Пускай $%k>10^{m-1}$%. Согласно с усиленным постулатом Бертрана, на интервале $%\left(\frac5{10}x,\frac9{10}x\right)$%, где $%x\ge10$% , всегда существует простое число.

На интервале $%\left(\frac5{10}k,\frac9{10}k\right)$% выберем простое число $%p_m$%. Тогда $%10^{m-2}< k-p_m< p_m$%

Аналогично на интервале $%\left(\frac5{10}(k-p_m),\frac9{10}(k-p_m)\right)$% выберем простое число $%p_{m-1}$%. Тогда $%10^{m-3}< k-p_{m-1}-p_m< p_{m-1}$%.

Выполнив эту процедуру $%m-1$% раз, получим нужное разбиение: $$k=(k-p_2-...-p_m)+p_2+...+p_m.$$

Для случая $%m=5$% можно показать, что что каждое натуральное число, которое превышает $%41$%, можно разбить на $%5$% взаимно простых слагаемых, больших за единицу, причём число $%41$% уже нельзя уменьшить.

ссылка

отвечен 21 Июн '17 1:00

изменен 8 Ноя '17 16:37

1

То-то я смотрю, она достаточно много появляется аж с лета...

(26 Сен '17 11:04) knop
2

@EdwardTurJ: маленькая языковая поправка. Числа бывают "больше единицы", или "больше, чем единица". Предлог "за" в русском никогда не используется в этом смысле (вместо него идёт "чем", и окончание слова другое).

(8 Ноя '17 17:34) falcao

А я полагал, что пользоваться без доказательства постулатом Б., а тем более, его усилением, в школьных соревнованиях нельзя.

(8 Ноя '17 17:40) knop

@knop: если речь о заочных соревнованиях, то можно. Это вполне в традиции. Скажем, в "Задачнике "Кванта"" можно было применять всё "известное". Такие решения засчитывались, и в чём-то даже приветствовались.

(8 Ноя '17 17:45) falcao
1

@falcao: Грамматику русского в основном помню, хотя не пользуюсь более 25 лет. В данном же случае оказался заложником технологии -"копировал, вставил, ошибок красным цветом не было, не прочитал".

Разбить на 5 слагаемых можно без постулата (решение И.Федака):

чётные: $$60k=2+3+5+(30k-11)+(30k+1),60k+2=2+3+5+(30k-19)+(30k+11),...;$$ нечётные: $$90k+1=2+3+5+(30k-19)+(30k-1)+(30k+11),90k+3=2+3+5+(30k-13)+(30k-1)+(30k+7),....$$

(8 Ноя '17 21:14) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: я потому и обратил внимание, что у Вас обычно все языковые обороты корректны. А тут фраза из условия это дело содержит.

Я пробовал решать без постулата, но до конца не доводил. Идея была примерно такая же -- подбор слагаемых. Только тут ведь получается, что вариантов очень много. Выписывать порядка 30 или 40 равенств вроде как многовато? Или тут какая-то закономерность есть?

Кстати, ещё по поводу трактовки условия. Когда есть 5 чисел, но они называются взаимно простыми, если НОД их всех равен 1. Это более слабое ограничение. Здесь ведь попарная взаимная простота имелась в виду?

(8 Ноя '17 22:59) falcao

@falcao: В решении Ивана Федака так и выписано 30+45 равенств. Закономерность не просматривается. Я решал для попарно взаимно простых, в оригинале условия нет слова "попарно".

(8 Ноя '17 23:23) EdwardTurJ
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×57

задан
20 Июн '17 23:08

показан
531 раз

обновлен
8 Ноя '17 23:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru