а) Перед гномом лежат более двух кучек бриллиантов. Ровно в одной из кучек лежит ровно один фальшивый бриллиант. Все бриллианты имеют одинаковый вид, все настоящие бриллианты весят одинаково, а фальшивый отличается от них по весу. У гнома есть чашечные весы без гирь. Гному надо ровно за одно взвешивание найти какую-нибудь одну кучку, в которой все бриллианты наверняка настоящие. Как это сделать?

б) Перед гномом лежат ровно две кучки бриллиантов. Ровно в одной из кучек лежит ровно один фальшивый бриллиант. Все бриллианты имеют одинаковый вид, все настоящие бриллианты весят одинаково, а фальшивый отличается от них по весу. У гнома есть чашечные весы без гирь. Гному надо ровно за одно взвешивание найти какую-нибудь одну кучку, в которой все бриллианты наверняка настоящие. Сможет ли гном это сделать?

задан 21 Июн '17 11:23

1

Здесь все просто. а) Берем меньшую кучку и такое же число камней из другой кучки. Если равновесие, то в меньшей кучке норма. В противном случае нет фальшивых камней в третьей кучке. б) Определить нельзя в случае нечетного числа камней в кучках.

(21 Июн '17 12:10) Urt
2

@Urt: в пункте б) может так оказаться, что определить можно. Если в одной из кучек чётное число камней, то делим их пополам и сравниваем. При любом результате мы сможем указать кучку с настоящими монетами. А вот если в кучках 1 и 3 камня соответственно, то есть три способа взвешивания. Обозначим камни как a и bbb. Тогда a:b, b:b, ab:bb при плохом исходе ответа не дадут.

(21 Июн '17 12:37) falcao
1

@falcao, по б)более общо: если в кучках по нечетному числу камей, то б1) если во взвешивании участвуют все камни, то неопределенность при неравновесе - на какой чаше фальшивый, б2) если не все, то неопределенность при равновесе (не взвешенных осталось более одного).

(21 Июн '17 12:53) Urt
1

А откуда эта задачка?

(21 Июн '17 13:09) knop
2

@Urt: если участвуют не все, то может быть по-разному. При сравнении a:b в предыдущих обозначениях, равновес автоматически означает, то a=b настоящие, и тогда кучка {a} найдена.

(21 Июн '17 14:15) falcao
2

@falcao, да, там неточность! Должно быть: б1) Если во взвешивании участвуют камни одной кучки, то неопределенность при равновесии - остались камни этой кучки и все камни невзвешенной кучки. б2) Если во взвешивании участвуют камни двух кучек, то неопределенность при неравновесии - на какой чашке фальшивый камень. Так, кажется, все сходится.

(21 Июн '17 14:34) Urt
1

@knop, задачка с окружной олимпиады Маргограда: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116862 Обобщена до произвольного количества кучек с произвольным числом камней :)

(21 Июн '17 15:25) Аллочка Шакед

@Urt, на счёт a), сдаётся мне, тоже всё не всегда так просто... Если берём меньшую кучку (хотя никто не говорил, что есть меньшая, но даже если она есть), а из другой такое же количество и они равновесны, нет гарантии, что в остатке от второй не остался фальшивый... Да и на счёт "тогда в третьей" никто не говорил, что их 3. Этот ответ больше для б) подходит

(22 Июн '17 12:03) Isaev
1

@Isaev: в пункте а) всё верно. Кучка с наименьшим числом камней есть в силу известной аксиомы арифметики -- принципа наименьшего числа. Это верно, даже если число кучек бесконечно. В случае равновесия мы точно знаем, что среди взвешиваемых камней нет фальшивого. Тогда первая (наименьшая) кучка настоящая. Если равновесия нет, то фальшивый бриллиант в одной из первых двух кучек. Но их по условию более двух. Значит, существует ещё хотя бы одна, которая и называется "третьей". Конечно, никто не говорил, что их ровно три, но их по условию больше двух -- поэтому "третья" точно есть.

(22 Июн '17 15:21) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
21 Июн '17 11:23

показан
508 раз

обновлен
22 Июн '17 15:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru