Задача:

На плоскости проведена окружность случайного радиуса $%r$%, где $%r$% является случайной величиной равномерной на отрезке [0, 1]. Найти плотность распределения отношения площади круга $%{x^2 + y^2 \leqslant r}$% к площади кольца $%{r ≤ x^2 + y^2 ≤ 1}$%.

В задаче, судя по всему, ошибка (должно быть $%r^2$%), но сути дела это не меняет.

Получается, что функция распределения $%r$%

$$f_\xi(r)=\begin{cases} 1, &r\in[0,1],\\ 0, &r\not\in[0,1]; \end{cases}\\ \eta=\frac{\pi\xi^2}{\pi(1-\xi^2)}=\frac{\xi^2}{1-\xi^2}\Rightarrow s=\frac{r^2}{1-r^2},\\ f_\eta(s)=f_\xi(r(s))|r'(s)|...$$

И дальше я в ступоре, потому что $%r$% через $%s$% выразить нельзя.

Что делать дальше?

задан 21 Июн '17 23:46

В задаче, судя по всему, ошибка - чего это вдруг?...

потому что $%r$% через $%s$% выразить нельзя. - и снова, чего это вдруг?...

(22 Июн '17 0:22) all_exist

Так формула окружности же выглядит как $%x^2+y^2=r^2$%, нет? И как тогда выразить $%r$% через $%s$%?

(22 Июн '17 0:25) byulent

Упс... не прочитал, что это не просто СВ, а именно радиус...

И как тогда выразить - ну, равенство $%s=\frac{r^2}{1-r^2}$% можно обратить...

(22 Июн '17 0:33) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Задача имеет смысл в такой постановке, поэтому ничего менять не надо. Площадь круга здесь равна $%\pi r$%, площадь кольца $%\pi(1-r)$%. Отношение равно $%\frac{r}{1-r}$%, оно принимает положительные значения. Берём число $%s > 0$% и находим функцию распределения $%F(s)=P(\frac{r}{1-r} < s)=P(r < s-rs)=P(r < \frac{s}{s+1})=\frac{s}{s+1}$%, так как $%r$% равномерно распределена. Плотность при $%s > 0$% равна производной, то есть $%f(s)=\frac1{(s+1)^2}$%. При $%s\le0$% плотность нулевая.

Заодно на всякий случай пусть будет вариант с $%r^2$%. Здесь всё то же самое, но функция распределения будет равна $%\sqrt{\frac{s}{s+1}}$%. После дифференцирования на $%s > 0$% получится плотность, равная $%\frac1{2\sqrt{s(s+1)^3}}$%.

ссылка

отвечен 22 Июн '17 0:34

изменен 22 Июн '17 0:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,950

задан
21 Июн '17 23:46

показан
314 раз

обновлен
22 Июн '17 0:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru