Существует гипотеза, что если факториал натурального числа не равен 1, 2 или 720, то он не представим в виде суммы двух квадратов целых чисел. Как бы её проверить?

задан 24 Июн '17 16:32

3

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида $%4k+3$% входит в его разложение на простые множители в чётной степени.

Теперь нужно усиление постулата Бертрана: между $%n$% и $%2n$% найдётся простое число вида $%4k+3$%.:)

(24 Июн '17 21:33) EdwardTurJ

А как же тогда 6!=720=24^2+12^2?

(25 Июн '17 0:00) Аллочка Шакед
3

@Аллочка Шакед: здесь это верно, начиная с некоторого достаточно большого n. При n=3 нет простых чисел p=4k+3 строго между n и 2n, отсюда исключение.

(25 Июн '17 0:26) falcao

@falcao, @EdwardTurJ, большое спасибо!

(25 Июн '17 15:35) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: небольшое добавление. Одно из доказательств "обычного" Постулата Бертрана состоит в получении оценок вида C1n/ln n < п(n) < С2n/ln n (не обязательно точных) для количества простых чисел в пределах отрезка [1;n]. Константы при этом должны быть конкретными; такие оценки известны (Чебышев). Из них следует, что п(2n)-п(n) > 0 при достаточно больших n. Для малых n проверка происходит вручную. В данном же случае нужны аналогичные оценки для п1(n) и п3(n) -- числа простых вида 4k+1 и 4k+3 соответственно. Эти величины примерно одинаковы, но я не видел нигде оценок с явными константами.

(25 Июн '17 19:46) falcao
2

Нашел в Интернете, что требуемое усиление постулата Бертрана оказывается (!!!) получено Эрдёшем (см. здесь). @Аллочка Шакед, возможно, Вы тоже нашли информацию об этом. Если нет, то это и Вас, надеюсь, порадует.

(26 Июн '17 21:16) Urt
2

@Urt: круто! Никогда бы не подумал, что это столь "поздний" результат!

(26 Июн '17 21:20) falcao
1

@Urt: Спасибо за ссылку! А я когда-то об этом прочитал, а найти источник не получалось.

(26 Июн '17 21:50) EdwardTurJ

Очень жаль, что текст статьи в LMS за 1934 год не находится в прямой доступности. Ясно, что коммерческой ценности он не имеет, и только какие-то "питекантропы" могли "засекретить" этот доступ к журналу 80-летней давности.

(27 Июн '17 0:17) falcao
1

@falcao, @EdwardTurJ, есть возможность скачать статью здесь. Но при беглом просмотре я не усмотрел в ней объявленного в предыдущей ссылке усиления постулата Бертрана.

(27 Июн '17 1:30) Urt
1

@Urt: любопытно. Я усмотрел здесь только элементарное доказательство Постулата Бертрана (с некоторым усилением) -- то самое, которое обычно приводят в популярных книжках со ссылкой на Эрдёша. Про числа вида 4k+1 и 4k+3 там ничего нет. Возникает предположение, что со ссылкой как-то ошиблись. Странно также упоминание "теории Шоке", которая вроде как о чём-то совсем другом.

Остаётся надежда, что Эрдёш это всё-таки доказал, но где-то в другом месте.

(27 Июн '17 5:08) falcao
1

@falcao, продолжил поиски и обнаружил что-то похожее в статье Эрдёша на венгерском яз.

(27 Июн '17 9:52) Urt
1

@Urt: такое впечатление, что это расширенная версия той же статьи, но с оценками, касающимися простых чисел в арифметических прогрессиях. Внешне выглядит очень интересно. Было бы хорошо уловить суть метода хотя бы в общих чертах.

(27 Июн '17 10:41) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
24 Июн '17 16:32

показан
540 раз

обновлен
27 Июн '17 10:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru