Вычислить $%\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-|x-y|^2}}{1+|x+y|^2}dxdy$%

задан 25 Июн '17 4:26

Надо сделать линейную замену, перейдя к координатам u=x-y, v=x+y. Якобиан замены равен 2, а переменные при этом разделяются, и далее всё считается.

Модули, кстати, здесь совершенно не нужны, потому что речь идёт о квадратах.

(25 Июн '17 9:17) falcao

А при чем тут якобиан? Тут же интеграл повторный, а якобиан в двойных используется. Если говорить про якобиан, мне кажется он здесь равен 1/2 (по столбцам x_u=0.5, y_u=0.5; x_v=-0.5, y_v=0.5). И как меняются пределы интегрирования? Если x,y от -inf до +inf, то x-y=u от 0 до 0 что ли (но операции с бесконечностями же не определены)?

(27 Июн '17 14:33) curl

@curl: интеграл по плоскости равен пределу интегралов по квадратам, или по любой исчерпывающей системе компактов. К этой ситуации и применяется якобиан (он равен 1/2). Преобразование u=x-y, v=x+y есть композиция поворота на 45 градусов и преобразования подобия. Получается снова исчерпывающая система, в объединении дающая всю плоскость. Поэтому пределы интегрирования по u, v также от минус до плюс бесконечности.

(27 Июн '17 15:55) falcao

То есть интеграл равен $%\frac{1}{2}\times \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2}du \times \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+v^2}dv$%.

Если вычислить этот интеграл в вольфраме и исходный, то получаются различные значения (pi^{3/2}/2~2.78416 и 2.72396 соотв.). Это почему?

(27 Июн '17 16:05) curl

@curl: по-моему, первый ответ верный, а Вольфрам, скорее всего, считает исходный интеграл численными методами со слишком большой погрешностью. То есть значение немного "недотягивает" до верного.

(27 Июн '17 17:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
25 Июн '17 4:26

показан
227 раз

обновлен
27 Июн '17 17:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru