а) Можно ли отметить на плоскости 99 точек так, чтобы какое бы целое число от 1 до 19 ни назвали, нашлась бы прямая, на которой лежит ровно столько отмеченных точек?

б) Можно ли отметить вышеуказанным образом 100 точек?

задан 25 Июн '17 15:38

2

Для 100 точек я вроде бы могу построить пример, хотя там надо проверить кое-какие детали. Для 99 точек пока такое впечатление, что примера нет, но над обоснованием надо будет подумать.

(25 Июн '17 23:57) falcao
3

@falcao, Одна (с 19-ю точками) прямая содержит не менее 19 точек, следующая (с 18-ю) - не менее 17 новых точек, с 17-ю - не менее 15 новых точек ... и т. д. - всего 100 точек - минимум.

(26 Июн '17 0:10) Urt
2

@Urt: я по такой схеме и рассуждал, но не проверял всё это на предмет общности и строгости. На первый взгляд, всё должно быть верно, но я хотел лишний раз точно проверить.

(26 Июн '17 1:22) falcao
1

@falcao, конечно, такой ход рассуждений и оценка появляются уже при первых попытках построения. Основная сложность задачи, на мой взгляд, в построении системы точек. При таком подходе (если уж его применять) нужно обеспечить наличие прямых с 9-ю, 8-ю... точками. Хотелось бы задать точки в узлах квадратной сетки - не получилось.

(26 Июн '17 1:34) Urt
1

@Urt: мне поначалу этот пункт казался более простым, хотя детали там всё равно надо продумывать, показывая наличие прямых с "малым" числом точек. Но, скорее всего, задачу можно считать принципиально уже решённой.

(26 Июн '17 1:36) falcao

@falcao, @Urt, более общо - для чисел от 1 до N требуется как минимум (N+1)^2/4 точек при нечётном N. Или я ошибаюсь?

(26 Июн '17 15:38) Аллочка Шакед

@Аллочка Шакед: думаю, что это верно, только осталось в виде строгого рассуждения оформить.

(26 Июн '17 22:21) falcao

@falcao, у меня тоже получается точки расположить, как надо, но очень громоздко. Сначала на двух перпендикулярах строятся 10 попарно пересекающихся линий, а потом дополнительные точки ставятся, "куда надо". Буду ждать Ваше, как всегда, изящное решение.

(26 Июн '17 23:02) Urt
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
4

a) В наборе должно быть не менее 100 точек: одна прямая (с 19-ю точками) содержит не менее 19 точек, следующая (с 18-ю) - не менее 17 новых точек, с 17-ю - не менее 15 новых точек ... и т. д. с 10-ю – не менее 1 новой точки - всего 100 точек - минимум.

б). Сначала построим 10 прямых так, чтобы каждая пара из них пересекалась в различных точках; при этом всего таких точек будет 45. Такое семейство прямых можно, например, задать уравнениями: $% x/i+y/(20-i)=1, i=1,…,10. $% Точки пересечения прямых будем задавать парой $% (i, j), $% в которой $% i, j$% – номера пересекающихся прямых. Указанные 45 точек пересечения $%(i,j), i,j=1,…10, (i{<}j)$% включим в набор.

Затем параллельно 10-й прямой проведем 9 новых прямых (с номерами 11,…,19), каждая из которых, естественно, пересекается с прямыми 1,…,9. Из множества этих точек пересечения в набор включим точки: $%(i, 11), i=1,…,9,$% – 9 точек, $%(i, 12), i=1,…,8,$% – 8 точек, $%(i, 13), i=1,…,7,$% – 5 точек,…, $%(1, 19)$% – 1 точка,

Теперь прямые $%1,2,…,10$% содержат соответственно 18,17,…,9 точек, а прямые $%11,.12,…,19$% – 9, 8,…, 1 точек набора; всего в наборе стало 90 точек. Добавим в набор точки, расположенные на прямых $%1,2,…,10$% (по одной точке на прямой) в произвольных местах, но так, чтобы они не совпадали с ранее выбранными точками, а еще лучше, чтобы вообще не совпадали с какими-либо точками пересечения семейства прямых. В итоге получилось, что построенные набор точек и семейство прямых удовлетворяют условиям п. б задачи.

ссылка

отвечен 27 Июн '17 12:49

@Urt, большое спасибо!

(27 Июн '17 15:05) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×128

задан
25 Июн '17 15:38

показан
784 раза

обновлен
27 Июн '17 15:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru