Пусть $%a_1,a_2,...,a_n -$% неотрицательные числа, причём $%a_1+a_2+...+a_n=a$%. Докажите, что $$a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n\le \frac{a^2}4$$

задан 26 Июн '17 14:23

по индукции тоже можно доказать, в предположении что $%a_{n-1}\le a_1$%

(26 Июн '17 19:48) abc
1

@abc, действительно, я смотрел по индукции - проходит. Проще, но совсем не интересно доказательство проводится "в лоб": выразить $%x_n$% через остальные переменные ($% x_n=1-...$%), а затем вычислить производную по $%x_{n-1}.$% Один плюс - видно при каком раскладе достигается максимум.

(26 Июн '17 20:20) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
4

$$a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n\le (a_1+a_3+a_5+...)(a_2+a_4+a_6+...)$$. Если первая скобка равна X, а вторая Y, то $$XY \le (X+Y)^2/4.$$

ссылка

отвечен 26 Июн '17 15:14

1

Пи четном $%n$% такой вариант доказательства непосредственно проходит для циклической суммы, т. е., если в левой части добавить $%a_na_1$%. А для нечетного $%n$% придется немного (?) модифицировать.

(26 Июн '17 19:56) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238

задан
26 Июн '17 14:23

показан
374 раза

обновлен
26 Июн '17 20:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru