Здравствуйте. Необходимо доказать, что факторкольцо кольца полиномов над полем k по идеалу, порожденному минимальным полиномом элемента alpha над k, есть поле. Это поле и есть k(alpha).

задан 26 Июн '17 23:26

изменен 27 Июн '17 3:37

Это материал учебника. Посмотрите тему "строение простого алгебраического расширения".

(27 Июн '17 0:12) falcao

@falcao: смотрел - не нашел.

(27 Июн '17 0:18) Oleg55

@Oleg55: странно -- я вот сейчас вставил в поиск Гугла ключевые слова, и по первой же ссылке получил это. Там всё исчерпывающе разобрано, и вообще это материал стандартного курса лекций.

(27 Июн '17 0:23) falcao

@falcao: я ваш пример не понял...(ведь это Теорема 2.4?). Там и про идеалы ни слова... Посмотрите, пожалуйста, здесь, на странице 4, и есть требуемое утверждение с доказательством? А то в моем источнике как-то и нет как такового доказательства и речь идет о НЕПРИВОДИМОМ многочлене (минимальный многочлен является неприводимым, неприводимый является минимальным?). Было бы круто, если бы Вы всё разложили по полочкам и описали сие доказательство... Ссылка на материал: http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/staff:bunina:lecture_13.pdf

(27 Июн '17 3:03) Oleg55

@Oleg55: у Вас в курсе лекций есть Теорема 1, где речь идёт о простом алгебраическом расширении. Можно на неё тогда ссылаться. Обосновать при этом нужно только то, что минимальный многочлен алгебраического элемента неприводим. Но это очевидно, потому что если f=gh -- нетривиальное разложение над K, то alpha будет являться корнем либо f, либо g, и степень уменьшится. Изоморфизм факторкольца K[x] по (f(x)) и поля K(alpha) следует из теоремы о гомоморфизмах. Надо рассмотреть гомоморфизм K[x] в расширение поля K, при котором x переходит в alpha, и проверить, что ядро равно главному идеалу (f(x)).

(27 Июн '17 4:44) falcao

@falcao: тот факт, что надо доказать:минимальный многочлен неприводим понял. А все что дальше - нет :(

(27 Июн '17 12:30) Oleg55

@falcao: можно доказательство целиком?

(27 Июн '17 12:44) Oleg55

@Oleg55: я только что написал подробно в другой "ветке". Замечу, что замечаний, оставленных здесь в комментарии, по идее, должно было быть достаточно. Я всецело "за" разъяснение нетривиальных моментов, но не очень люблю "прожёвывание", то есть подробное объяснение тривиального.

(27 Июн '17 15:48) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
26 Июн '17 23:26

показан
338 раз

обновлен
27 Июн '17 15:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru