Пусть $% 0\le a\le b\le c\le d$%. Докажите неравенство $$\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\le(2-\sqrt3)a+(\sqrt3-\sqrt2)b+(\sqrt2-1)c+d,$$ определите, когда в нём достигается равенство.

задан 27 Июн '17 11:23

10|600 символов нужно символов осталось
4

$$a=x,b=x+y,c=x+y+z,d=x+y+z+t,$$ $$\sqrt{x^2+(x+y)^2+(x+y+z)^2+(x+y+z+t)^2}\le2x+\sqrt3y+\sqrt2z+t,$$ $$2tx+(2\sqrt3-2)ty+(2\sqrt2-2)tz+(4\sqrt3-6)xy+(4\sqrt2-4)xz+(2\sqrt6-4)yz\ge0.$$ Последнее неравенство будет равенством только при условии, когда хотя бы три числа из $%x,y,z,t$% равны нулю, то есть в исходном неравенстве равенство достигается в случаях: $$a,a,a,a;$$ $$0,b,b,b;$$ $$0,0,c,c;$$ $$0,0,0,d.$$

ссылка

отвечен 27 Июн '17 11:48

изменен 27 Июн '17 12:11

1

А если бы я дал аналог этой задачи про n переменных, тоже бы так решали?

(27 Июн '17 13:54) knop
2

@knop: Для $%n$% переменных: $$a=x_n,b=x_n+x_{n-1},...$$ $$\sum_{i,j=1}^n2\left(\sqrt{ij}-min(i,j)\right)x_ix_j\ge0.$$

(27 Июн '17 14:03) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
4

$$\vec {h_1}=(q_1, q_2,..., q_n)\ , 0 \le q_1 \le ...\le q_n$$ $$\vec {h_2}=(A_1-A_2, A_2-A_3,...,A_n-A_{n+1}) \ , 0 \le A_1-A_2 \le A_2-A_3\le ...\le A_n-A_{n+1}$$ $$\Leftrightarrow (\vec {h_1},\vec {h_2}) = |\vec {h_1}|\cdot |\vec {h_2}|\cdot \cos (\phi) \ge |\vec {h_1}|$$ $$\vec {h_1},\vec {h_2} \in \sigma$$ Где $%\sigma - $% конус $% 0 \le x_1\le ... \le x_n $%

Поэтому достаточно проверить неравенство для случаев: $$(q_1=q_n) \ ,\ (q_1=0, q_2=q_n ) , \ ...$$

ссылка

отвечен 27 Июн '17 15:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238

задан
27 Июн '17 11:23

показан
471 раз

обновлен
27 Июн '17 15:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru