Здравствуйте. Доказать, что каждый элемент alpha конечного расширения может быть представлен как элемент факторкольца кольца полиномов k[x] над исходным полем k, по МАКСИМАЛЬНОМУ ГЛАВНОМУ идеалу, порожденному МИНИМАЛЬНЫМ полиномом элемента alpha над k

задан 27 Июн '17 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

По-моему, это дело уже обсуждали в комментариях.

Пусть $%K < L$% -- конечное расширение полей, $%\alpha\in L$%. Этот элемент алгебраичен над $%K$% ввиду конечности степени расширения. Значит, существует аннулирующий многочлен $%f(x)$% над $%K$% степени $%\ge1$%. Среди таких многочленов выберем многочлен $%f(x)$% минимальной степени, для которого $%f(\alpha)=0$%. Очевидно, что такой многочлен неприводим над $%K$%. Действительно, если $%f(x)=g(x)h(x)$% -- нетривиальное разложение над $%K$%, то $%g(\alpha)=0$% или $%h(\alpha)=0$%, где $%\deg g < \deg f$% и $%\deg h < \deg f$%, что приводит к противоречию.

Вообще, тот факт, что минимальный многочлен алгебраического элемента неприводим, равно как и обратное утверждение, обосновывается в стандартном учебном курсе, а первая из импликаций, которая здесь нужна, вообще очевидна.

Теперь рассмотрим отображение $%K[x]$% в $%L$%, полагая $%p(x)\mapsto p(\alpha)$% для любого $%p(x)\in K[x]$%. Очевидно, что это кольцевой гомоморфизм. Его образом является минимальное подполе в $%L$%, содержащее $%K$% и $%\alpha$%, то есть $%K(\alpha)$%. Найдём его ядро. Предположим, что $%p(x)$% принадлежит ядру. Тогда $%p(\alpha)=0$%. Утверждается, что $%p(x)$% делится на $%f(x)$%. Последнее доказывается при помощи теоремы о делении с остатком: если остаток $%r(x)$% от деления $%p(x)$% на $%f(x)$% ненулевой, то $%r(\alpha)=0$%, и получается противоречие с минимальностью многочлена $%f$%, так как остаток от деления имеет меньшую степень.

Заметим, что здесь была напрямую использована минимальность многочлена -- свойством его неприводимости мы не пользовались. В итоге получилось, что ядро гомоморфизма содержится в главном идеале $%(f(x))$%, а обратное включение очевидно. Тогда по теореме о гомоморфизмах оказывается, что $%K(x)/(f(x))$% изоморфна образу, то есть $%K(\alpha)$%. Это и требовалось доказать. То, что главный идеал $%(f(x))$% является максимальным идеалом кольца $%K[x]$%, следует как из факта неприводимости $%f(x)$% над $%K$%, так и из того, что факторкольцо является полем.

Общее замечание: в такого рода задачах желательно хорошо представлять себе грань между тем, что уже известно и изучено, и тем, что ещё не известно. и что надо обосновывать. В противном случае получается переписывание страниц учебника, с "прожёвыванием" всех известных фактов, а это представляется излишним.

ссылка

отвечен 27 Июн '17 15:45

@falcao: то есть предыдущая задача и эта - одно и тоже?

(27 Июн '17 16:04) Oleg55

@Oleg55: честно говоря, я только сейчас обратил внимание на разницу в условиях. Но здесь одно из другого прямо следует -- ведь если K(alpha) изоморфно факторкольцу, то любой его элемент есть элемент факторкольца.

(27 Июн '17 17:57) falcao

@falcao: то есть вы привели доказательство для того, что факторкольцо кольца полиномов над полем k по идеалу, порожденному минимальным полиномом элемента alpha над k, есть поле. Это поле и есть k(alpha). Но дополнив доказательство словами: если K(alpha) изоморфно факторкольцу, то любой его элемент есть элемент факторкольца, то утверждение, которое в первом посте, также становится доказанным?

(28 Июн '17 4:00) Oleg55

@Oleg55: а у Вас есть какие-то сомнения? Я же сказал выше, что одно из другого прямо следует.

(28 Июн '17 4:24) falcao

@falcao: сомнений нет :). Спасибо.

(28 Июн '17 14:51) Oleg55
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
27 Июн '17 12:36

показан
351 раз

обновлен
28 Июн '17 14:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru