Вычислить $$\int_{C_r}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$$ где $%C_r=\{(x,y):(x-1)^2+y^2=r\}, r\ne 1$%, ориентирован против часовой стрелки

$%x=1+r\cos t, y=r\sin t\implies xdy-ydx=(r^2+r\cos t)dt, x^2+y^2=r^2+2r\cos t +1$% $$\int_{C_r}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\int_0^{2\pi}\frac{r^2+r\cos t}{r^2+2r\cos t + 1}dt$$

А дальше как?

задан 27 Июн '17 18:32

Еще вроде бы подынтегральное выражение равно $%d(\frac{x}{x+y})$%

(27 Июн '17 18:39) curl
10|600 символов нужно символов осталось
0

Подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции $%arctg(y/x),$% поэтому интеграл от него по замкнутому контуру равен нулю (это сразу ясно, если контур не содержит точек, в которых $%x=0,$% если же контур их содержит, то он содержит ровно пару таких точек, то при приближении к ним симметрично относительно оси ОХ эти особенности гасят друг друга).

ссылка

отвечен 28 Июн '17 1:47

@Амфибрахий: могу ошибаться, но мне кажется, что при r > 1 интеграл равен 2п.

(28 Июн '17 3:02) falcao

@falcao, я тоже не уверен в своем ответе для этого случая, прикидывал "на глазок".

(28 Июн '17 9:32) Амфибрахий

@Амфибрахий: если окружность обычная единичная, то там при переходе к полярным координатам получается 2п. А здесь, наверное, должна быть какая-то общая теория типа вычетов. То есть случай применения формулы Стокса, когда внутри есть особенности, наверное, учитывается каким-то общим способом.

(28 Июн '17 10:01) falcao
1

@falcao, сейчас я посмотрел внимательней - конечно же, там на каждой из двух особенностей на контуре набегает по "пи", так что правильный ответ при $%r>1$% будет "2пи".

(28 Июн '17 10:24) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
27 Июн '17 18:32

показан
410 раз

обновлен
28 Июн '17 10:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru