Целые числа а, b, c образуют арифметическую прогрессию. Сумма двух любых представляет собой квадрат. Вот их- то нужно и найти (числа)

задан 28 Июн '17 2:29

Пока пусть будет один вариант: -46, 50, 146 (можно умножать на квадраты). Сейчас уже засыпаю на ходу, нет возможности анализировать дальше...

(28 Июн '17 4:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Решений здесь бесконечно много, даже если отождествлять пропорциональные тройки чисел. Ситуация во многом напоминает пифагоровы тройки.

Постоянные арифметические прогрессии можно игнорировать, так как это тривиальный случай. Пусть $%a < b < c$% -- возрастающая арифметическая прогрессия из целых чисел. При этом $%c=2b-a$%, и точными квадратами должны быть числа $%a+b$%, $%2b$%, $%3b-a=4b-(a+b)$%. Тем самым, $%b=2m^2$%, $%a+b=k^2$%, и $%8m^2=k^2+n^2$% для некоторых натуральных $%k$%, $%m$%, $%n$%.

Числа $%k$% и $%n$% имеют одинаковую чётность. Они оба должны быть чётными, так как в противном случае сумма квадратов давала бы остаток 2 при делении на 4. Возникает уравнение $%(k/2)^2+(n/2)^2=2m^2$%, решения которого в натуральных числах нужно описать.

Воспользуемся следующим способом: разделим уравнение на $%m^2$%, и будем решать в рациональных числах уравнение $%x^2+y^2=2$%. Для этого имеется такой стандартный способ. Одно решение $%(1;1)$% у нас уже имеется. Считаем, что $%x\ne1$%, и рассматриваем прямую, соединяющую точки $%(1;1)$% и $%(x,y)$%. Эта прямая имеет рациональный угловой коэффициент $%k=\frac{y-1}{x-1}$%. Теперь записываем уравнение в виде $%x^2-1+y^2-1=0$% и делим на $%x-1$%, получая $%x+1+(y+1)k=0$%, и далее подставляя $%y=k(x-1)+1$%. Получается линейное уравнение относительно $%x$%, и это даёт семейство решений $%x=\frac{k^2-2k-1}{k^2+1}$%, $%y=-\frac{k^2+2k-1}{k^2+1}$%. Поскольку $%x$%, $%y$% положительны, можно заменить их на модули. Представляя $%k$% в виде рациональной дроби $%u/v$%, получаем, что исходная тройка чисел $%(k,n,m)$% пропорциональна $%(2|u^2-2uv-v^2|,2|u^2+2uv-v^2|,u^2+v^2)$%.

Теперь можно выразить сами числа через параметры $%u$%, $%v$%. Получаются следующие формулы: $%a=k^2-2m^2=2u^4-16u^3v+4u^2v^2+16uv^3+2v^4$%, $%b=2(u^2+v^2)^2$%, $%c=2u^4+16u^3v+4u^2v^2-16uv^3+2v^4$%.

Например, при $%u=2$%, $%v=1$% мы получаем арифметическую прогрессию $%-46,50,146$%. Подставляя $%u=4$%, $%v=1$%, имеем последовательность $%-382,578,1538$%. При $%u=6$%, $%v=1$% будет $%-622,2738,6098$%, и так далее.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 9:30

@falcao, знаете, авторский ответ: наименьшая тройка 6242; 3362; 482

(28 Июн '17 14:20) epimkin

О положительности чисел в условии ничего нет

(28 Июн '17 14:23) epimkin

@epimkin: в условии нет ничего ни про положительность, ни про "наименьшую" тройку, поэтому я дал полное описание. Тройка, о которой идёт речь, получается при u=5,v=4 по указанным формулам.

Кстати говоря, можно было сразу воспользоваться уже готовым описанием пифагоровых троек: уравнение k^2+n^2=8m^2 равносильно (k-n)^2+(k+n)^2=(4m)^2.

(28 Июн '17 15:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Июн '17 2:29

показан
373 раза

обновлен
28 Июн '17 15:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru