Является ли система функций линейно зависимой: 1, cos(x)......cos(nx)? Попалось на экзамене, я предлагал через Вронскиан, но преподаватель на экзамене сказал, что типа слишком сложно. Как тут еще можно???

задан 28 Июн '17 12:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно предложить ещё способ доказательства по индукции. База очевидна. Предположим, что линейная независимость системы $%1$%, $%\cos x$%, ... , $%\cos(n-1)x$% уже доказана. Допустим, что после присоединения функции $%\cos nx$% система становится линейно зависимой. Тогда новая функция выражается линейно через предыдущие: $%\cos nx$% тождественно равна $%a_0+a_1\cos x+\cdots+a_{n-1}\cos(n-1)x$%. Представление в таком виде должно быть единственно ввиду линейной независимости системы до присоединения новой функции.

Продифференцируем тождество дважды, что даст $%n^2\cos nx=a_1\cos x+4a_2\cos2x+\cdots+(n-1)^2a_{n-1}\cos(n-1)x$%. Сравнение коэффициентов даёт $%n^2a_k=k^2a_k$% при всех $%0\le k < n$%, откуда все $%a_k$% равны нулю -- противоречие.

Другой метод, более общий, позволяет доказать линейную независимость системы из косинусов и синусов кратных углов. Идея доказательства -- выразить косинусы и синусы через $%z=e^{ix}$% при помощи формулы Эйлера, и тогда всё сведётся к линейной независимости степеней $%z$%, что очевидно.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 15:37

@falcao @all_exist @Амфибрахий и другие, простите, если кого забыл, не могу описать словами, насколько вам признателен и благодарен за вашу помощь, без которой мне пришлось бы ой как туго.....

Сегодня официально -второкурсник) Спасибо!!!:)

(28 Июн '17 19:55) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нетривиальная линейная комбинация косинусов является периодической функцией и на периоде имеет конечное число нулей, поэтому тождественным нулем быть не может.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 13:31

@Амфибрахий А если на языке простого "смертного" 1 курса? Ну даже теоретически мы такое не обсуждали на парах.

(28 Июн '17 13:39) Стас001
1

$%\cos nx $% выражается через степени $%\cos x, $% поэтому поиск тех точек, в которых линейная комбинация косинусов кратных дуг равна 0, сводится к поиску нулей многочлена от $%\cos x, $% а всякий невырожденный многочлен имеет не более конечного числа нулей.

(28 Июн '17 14:58) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,332

задан
28 Июн '17 12:56

показан
829 раз

обновлен
28 Июн '17 19:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru