Возникла проблема при доказательстве следующей формулы для нормы линейного оператора в пространстве $%\mathcal L (H)$% линейных ограниченных операторов, действующих из гильбертова пространства $%H$% в себя: $$\|A\|=\sup_{x\neq0, y\neq0} \frac {|(Ax,y)|} {\|x\|_H\|y\|_H}$$.

Если я верно понимаю, то надо в следующей формуле: $$ \|A\| = \sup_{x\neq0} \frac {\|Ax\|H}{\|x\|H}=\sup_{x\neq0}\frac{\sqrt{(Ax,Ax)}}{\sqrt{(x,x)}} $$ каким-то образом использовать неравенство Коши-Буняковского и полноту пространства. Однако здесь сразу возникает куча вопросов, связанных с тем, как строго перейти от последнего неравенства к первому и как избавиться от радикала в числителе. Буду благодарен, если дадите зацепку или идею.

задан 31 Янв '13 9:16

изменен 31 Янв '13 10:53

Вторая формула в предпросмотре видна, а здесь почему-то нет.

(31 Янв '13 9:31) MathTrbl

Это из-за подчеркивания, которое используется и как обозначение курсива. Его нельзя ставить не сразу после буквы. Видимо, проблема там, где индекс стоит после \|

(31 Янв '13 10:50) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Неравенство Коши - Буняковского нужно применить к $%|(Ax,y)|$%, и тогда после сокращения получится $%||Ax||/||x||$%, что не превосходит $%||A||$%. Отсюда следует, что оцениваемая точная верхняя грань по всем парам ненулевых векторов $%x,y$% не превосходит нормы оператора.

В обратную сторону рассуждаем так. Если $%Ax\ne0$%, то положим $%y=Ax$%. Тогда модуль скалярного произведения в числителе дроби превратится в $%||Ax||^2$%, а сама дробь -- в $%||Ax||/||x||$%. Из чего ясно, что точная верхняя грань оцениваемого выражения, взятая по всем $%y\ne0$%, больше либо равна $%||Ax||/||x||$%. Для оставшегося не рассмотренным случая $%Ax=0$% это неравенство очевидно. Далее берём точную верхнюю грань по всем ненулевым $%x$%, и приходим к выводу, что оцениваемая нами величина не меньше $%||A||$%.

ссылка

отвечен 31 Янв '13 13:16

спасибо за разъяснения

(31 Янв '13 13:29) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×658

задан
31 Янв '13 9:16

показан
1083 раза

обновлен
31 Янв '13 13:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru