|
Возникла проблема при доказательстве следующей формулы для нормы линейного оператора в пространстве $%\mathcal L (H)$% линейных ограниченных операторов, действующих из гильбертова пространства $%H$% в себя: $$\|A\|=\sup_{x\neq0, y\neq0} \frac {|(Ax,y)|} {\|x\|_H\|y\|_H}$$. Если я верно понимаю, то надо в следующей формуле: $$ \|A\| = \sup_{x\neq0} \frac {\|Ax\|H}{\|x\|H}=\sup_{x\neq0}\frac{\sqrt{(Ax,Ax)}}{\sqrt{(x,x)}} $$ каким-то образом использовать неравенство Коши-Буняковского и полноту пространства. Однако здесь сразу возникает куча вопросов, связанных с тем, как строго перейти от последнего неравенства к первому и как избавиться от радикала в числителе. Буду благодарен, если дадите зацепку или идею. задан 31 Янв '13 9:16 
MathTrbl |
|
Неравенство Коши - Буняковского нужно применить к $%|(Ax,y)|$%, и тогда после сокращения получится $%||Ax||/||x||$%, что не превосходит $%||A||$%. Отсюда следует, что оцениваемая точная верхняя грань по всем парам ненулевых векторов $%x,y$% не превосходит нормы оператора. В обратную сторону рассуждаем так. Если $%Ax\ne0$%, то положим $%y=Ax$%. Тогда модуль скалярного произведения в числителе дроби превратится в $%||Ax||^2$%, а сама дробь -- в $%||Ax||/||x||$%. Из чего ясно, что точная верхняя грань оцениваемого выражения, взятая по всем $%y\ne0$%, больше либо равна $%||Ax||/||x||$%. Для оставшегося не рассмотренным случая $%Ax=0$% это неравенство очевидно. Далее берём точную верхнюю грань по всем ненулевым $%x$%, и приходим к выводу, что оцениваемая нами величина не меньше $%||A||$%. отвечен 31 Янв '13 13:16 
falcao спасибо за разъяснения
(31 Янв '13 13:29)
MathTrbl
|
Вторая формула в предпросмотре видна, а здесь почему-то нет.
Это из-за подчеркивания, которое используется и как обозначение курсива. Его нельзя ставить не сразу после буквы. Видимо, проблема там, где индекс стоит после \|