Здравствуйте. Перечислите все факторгруппы группы Z12xZ2.

задан 28 Июн '17 14:50

Перечисление имеется в виду с точностью до изоморфизма или нет?

(28 Июн '17 15:19) falcao

@falcao: в условии этого не дано, поэтому думаю что нет.

(28 Июн '17 15:29) Oleg55

@Oleg55: я всё-таки предполагаю, что подразумевается структурное описание, с точностью до изоморфизма. В противном случае задача состоит в описании всех подгрупп, а тогда её так лучше было бы и формулировать. Их слишком много, и упражнение получается технически "муторное". Я могу изложить свой вариант.

(28 Июн '17 15:39) falcao

@falcao: изложите, пожалуйста.

(28 Июн '17 15:44) Oleg55
10|600 символов нужно символов осталось
0

Группа имеет порядок 24. Порядки факторгрупп делят 24, то есть принимают значения 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. С группами порядка 1 и 24 всё сразу ясно. Группы порядка 2 и 3 -- это Z(2) и Z(3); очевидно, что они являются факторгруппами данной группы. Абелева группа порядка 6 циклична, и тоже является факторгруппой (в качестве Z(12)/Z(2)xZ(2)/Z(2), например). Абелевы группы порядка 8 могут иметь один из трёх видов: Z(8), Z(4)xZ(2), Z(2)xZ(2)xZ(2). Первая из групп не будет факторгруппой, так как не удовлетворяет тождеству x^{12}=1. Третья также не будет, потому что не порождается двумя элементами. Вторая будет -- как Z(12)/Z(3)xZ(2). Абелевы группы порядка 12 являются прямыми произведениями примарных, и вариантов здесь два: Z(4)xZ(3)=Z(12) и Z(2)xZ(2)xZ(3)=Z(2)xZ(6). Из тех же соображений, что и выше, ясно, что они факторгруппами будут.

Здесь можно было какие-то ещё структурные теоремы применять, но при условии, что они изучались. В принципе, в них особой необходимости нет.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 15:45

изменен 28 Июн '17 15:46

@falcao:группы порядка 1 и 24 также являются факторгруппами? И почему группы порядка 2 и 3 являются факторгруппами данной группы?

(28 Июн '17 15:59) Oleg55

@Oleg55: группы {e}=G/G и G=G/{e} всегда являются факторгруппами G в силу тривиальных причин.

Почему Z(2) и Z(3) будут фактогруппами, я не разъяснял, так как это совсем легко. Тут можно было и самостоятельно догадаться, исходя из тех приёмов, которые далее продемонстрированы для чуть более сложных ситуаций. Понятно, что Z(3)=Z(12)/Z(4)xZ(2)/Z(2), а Z(2) так и вовсе является прямым сомножителем.

Вообще, ту автоматически и однотипно получаются все группы вида Z(k)xZ(m), где k делит 12 и m делит 2.

(28 Июн '17 16:16) falcao

@falcao: теперь понятно. Спасибо.

(28 Июн '17 16:24) Oleg55
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Июн '17 14:50

показан
577 раз

обновлен
28 Июн '17 16:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru