Подскажите, что можно рассказать при ответе на вопрос: "Вычисления в конечных расширениях". Это, вероятно, вычисления в факторкольцах колец полиномов. Что про это можно рассказать? Возможно, какие-то теоремы или свойства. И как описать интерпретацию конечного расширения в виде факторкольца?

задан 28 Июн '17 16:28

Обычно говорят о конечных расширениях полей, а не колец. Например, часто проводят вычисления в расширениях конечных полей, полученных присоединением корней многочленов с коэффициентами из этого поля.

(28 Июн '17 20:38) Амфибрахий

@Амфибрахий: данное уточнение насчет колец дал преподаватель. Я его здесь указал. Можно прочитать где-нибудь о том, о чем вы говорите?

(28 Июн '17 20:44) Oleg55

почитать о том, о чем я говорил, можно, например, в книге Лидл, Нидеррайтер Конечные поля, и еще везде, где обсуждаются конечные поля.

(28 Июн '17 22:40) Амфибрахий

Поконкретнее бы...

(28 Июн '17 23:34) Oleg55

@falcao: подскажите, пожалуйста, по вопросу.

(29 Июн '17 0:55) Oleg55

Отвечу коротко, потому что точно сказать может только лектор.

В книге Ленга есть теорема о примитивном элементе: при достаточно широких предположениях доказывается, что конечное расширение поля K имеет вид K(alpha), где alpha -- алгебраический элемент. Этот случай можно рассматривать как основной. Тогда мы знаем, что это поле изоморфно факторкольцу K[x]/(f(x)), где f(x) -- минимальный многочлен. Элементы факторкольца можно считать остатками от деления на f(x), и кольцевые операции осуществляются обычно: складываем напрямую, а при умножении берём остаток от деления на f(x).

(29 Июн '17 2:37) falcao

Ещё сюда можно добавить описание нахождения обратного элемента. Если g(alpha) не равно 0 (то есть g не делится на f, и потому взаимно прост с ним), то находим u,v такие, что 1=fu+gv. Тогда 1/g(alpha)=v(alpha).

Вообще-то всё это должно излагаться в лекционном курсе в том или ином виде.

(29 Июн '17 2:39) falcao

@falcao: спасибо, что откликнулись! 1) В Ленге теорему о примитивном элементе не нашел (нашел только параграф "Примитивные элементы" в главе "Алгебраические расширения"). 2) Элементы факторкольца можно считать остатками от деления на f(x). Это следует из того, что конечное расширение поля K имеет вид K(alpha)? 3) Про кольцевые операции конечного расширения поля. Это где такое посмотреть можно?

(29 Июн '17 3:05) Oleg55

@Oleg55: в этом параграфе есть теорема, но она дана в достаточно широкой общности, и я не уверен, что в таком виде она требуется. Возможно, что изначально рассматриваются только расширения вида K(alpha) -- тогда теорема не нужна. Информация о кольцевых операциях извлекается из того факта, что мы имеем дело с факторкольцом K[x]/(f(x)). Тогда многочлены можно заменять их остатками от деления на f(x). Тут всё однозначно, и никакой новой информации не требуется.

(29 Июн '17 13:47) falcao

@falcao: благодарю за ответ.

(30 Июн '17 2:07) Oleg55
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,518

задан
28 Июн '17 16:28

показан
249 раз

обновлен
30 Июн '17 2:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru