Найдите все такие мн-ны P(x), что 2(x^3+1)P(x)-(x^4-1)P'(x)=(x^2-1)^2

задан 28 Июн '17 20:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Думал сначала закрыть этот вопрос, потому что однотипных задач на эту тему было много. Здесь можно начать с выделения старшего члена, найти степень $%P$%, и далее применить метод неопределённых коэффициентов. Но в данном случае можно сначала применить некоторые упрощения.

Прежде всего, понятно, что $%P(1)=0$%, то есть $%P(x)$% делится на $%x-1$% по теореме Безу. Полагаем $%P(x)=(x-1)Q(x)$%, откуда $%P'(x)=(x-1)Q'(x)+Q(x)$%, после чего делаем подстановку, и становится видно, что уравнение можно сократить на $%x^2-1=(x-1)(x+1)$%. Получается $%2(x^2-x+1)Q(x)-(x^2+1)((x-1)Q'(x)+Q(x))=x^2-1$%. Приводя подобные члены, имеем $%(x^2-2x+1)Q(x)-(x^2+1)(x-1)Q'(x)=x^2-1$%, и можно дополнительно сократить на $%x-1$%.

Уравнение $%(x-1)Q(x)-(x^2+1)Q'(x)=x+1$% имеет более простой вид. К нему можно применить общий метод. Ясно, что $%Q(x)$% не равен нулю тождественно, то есть имеет старший член вида $%ax^n$%, где $%a\ne0$%. Попутно можно заметить, что $%Q(x)$% не может быть константой, то есть $%n\ge1$%. Оказывается, что $%Q(x)=ax^n+\cdots$%; $%Q'(x)=nax^{n-1}+\cdots$%, и после подстановки в левой части старшие члены дают $%a(1-n)x^{n+1}$%. Степень не меньше 2, а справа она равна 1, поэтому такой член должен быть нулевым, и $%n=1$%. Тем самым, $%Q(x)=ax+b$%. Подстановка даёт $%(x-1)(ax+b)-(x^2+1)a-x-1=0$%.

Приравнивая нулю коэффициенты после приведения подобных членов, получаем $%b-a=1$% и $%b+a=-1$%, то есть $%b=0$%, $%a=-1$%, $%Q(x)=-x$%, $%P(x)=-x(x-1)=-x^2+x$%.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 23:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×415

задан
28 Июн '17 20:35

показан
354 раза

обновлен
28 Июн '17 23:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru