Дано диофантово уравнение с параметром а, (2a+1)x+(a+1)(-15)=1. Найти все возможные а. Помогите пожалуйста, как решить такое? Я видел на сайте разбор похожего задания, где пользовались тем, что x должно быть целым. Но есть например сделать здесь так, то получится: (2a+1)x=1+15(a+1), x=(1+15(a+1))/(2a+1). Тут никак не удается выделить целую часть без параметра, что делать?

задан 28 Июн '17 22:40

изменен 28 Июн '17 23:13

Как можно помочь по невнятному обрывку условия задачи?

(28 Июн '17 22:42) Амфибрахий

Дано диофантово уравнение с параметром а, (2a+1)x+(a+1)(-15)=1. Найти чему может быть равно а.

(28 Июн '17 22:46) qwer895
10|600 символов нужно символов осталось
0

Проанализируем несколько возможных способов решения. Итак, требуется найти целые $%a$%, для которых дробь $%\frac{15a+16}{2a+1}$% принимает целые значения. Смотрим на коэффициенты при $%a$%, рассматриваем их отношение 15/2, и выделяем целую часть, равную 7. Это значит, что из дроби можно вычесть 7, что приводит к равносильному условию: отношение $%\frac{a+9}{2a+1}$% целое. Здесь либо $%a=-9$%, либо модуль числителя не превосходит модуля знаменателя. Такое неравенство приводит к конечному множеству значений параметра $%a$%, и остаётся каждое значение проверить путём прямой подстановки.

Такой способ решения возможен, но здесь лучше поступить по-другому. Мы анализируем, когда $%a+9$% делится (нацело) на $%2a+1$%, то есть на нечётное число. Тогда числитель дроби можно удвоить, и получится равносильное условие: отношение $%\frac{2a+18}{2a+1}$% целое. Теперь можно вычесть 1, и окажется, что $%\frac{17}{2a+1}$% целое. В числителе получилась константа, и тогда $%2a+1$% является целочисленным делителем 17, то есть равно 1, -1, 17 или -17. Получается, что $%a\in\{0;-1;8;-9\}$%. Можно на всякий случай сделать проверку, но она вообще-то не обязательна, так как преобразования были равносильными.

А вот ещё один метод. У нас имеется уравнение $%2ax+x-15a=16$%. Умножим его на 2, получая $%4ax+2x-30a=32$%. Теперь надо увидеть в левой части результат разложения на множители выражения $%(2a+1)(2x-15)$%, откуда после вычитания 15 из обеих частей получится $%(2a+1)(2x-15)=17$%. Здесь сразу возникают предыдущие 4 варианта, вместе с нахождением значения $%x$%. То есть $%(a,x)\in\{(0;16),(-1;-1),(8;8),(-9;7)\}$%.

ссылка

отвечен 28 Июн '17 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711
×160

задан
28 Июн '17 22:40

показан
284 раза

обновлен
28 Июн '17 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru