1. Найти все абелевы расширения группы $% \mathbb{Z}/(q)$% с помощью группы $% \mathbb{Z}/(p)$%, где $%p,q$% простые.

  2. Найти абелевы расширения группы $% \mathbb{Z}/(4)$% с помощью группы $% \mathbb{Z}/(4)$%

  3. Найти абелевы расширения группы $% \mathbb{Z}/(6)$% с помощью группы $% \mathbb{Z}/(6)$%

Мои попытки:

Так как любая конечная абелева группа, как $% \mathbb{Z}$%-модуль, имеет простую структуру,а именно $$ A \cong \bigoplus_{i = 1}^{n} \mathbb{Z}/(\lambda_i) \cong \bigoplus_{i} \mathbb{Z}/(p_i^{s_i})$$ то, все абелевы расширения для 1-го задания, есть группы $$ G \cong \mathbb{Z}/(q) \oplus\mathbb{Z}/(p) $$ для 2-го $$ G \cong \mathbb{Z}/(4) \oplus\mathbb{Z}/(4) $$ для 3-го $$ G \cong \mathbb{Z}/(2) \oplus\mathbb{Z}/(2) \oplus\mathbb{Z}/(3) \oplus\mathbb{Z}/(3) $$

Правда, мне кажется, что я где-то ошибаюсь.

задан 29 Июн '17 7:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если я правильно понимаю условие, то даны две абелевы группы $%H$% и $%K$%, и требуется описать все абелевы группы $%G$% такие, в которых имеется подгруппа, изоморфная $%H$%, факторгруппа по которой изоморфна $%K$%. Дело в том, что термин "абелево расширение" в теории групп нельзя отнести к числу стандартных выражений, поэтому его надо уточнять.

1) Рассмотрим для начала случай $%p\ne q$%. Группа $%G$% имеет порядок $%pq$%, и тогда в примарном разложении получается $%\mathbb Z_p\times\mathbb Z_q\cong\mathbb Z_{pq}$%, то есть это циклическая группа.

Если же $%p=q$%, то группа $%G$% может быть изоморфна как $%\mathbb Z_{p^2}$%, так и $%\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$%. В обоих случаях в группе есть подгруппа порядка $%p$%, факторгруппа по которой изоморфна $%\mathbb Z_p$%.

Здесь и далее будет для удобства использоваться мультипликативная запись.

2) Здесь $%G$% имеет порядок 16. Согласно общей теории, $%G$% есть прямое произведение циклических групп. При этом в $%G$% есть подгруппа порядка 4. Случаи следующие: $%\mathbb Z_{16}$%, $%\mathbb Z_8\times\mathbb Z_2$%, $%\mathbb Z_4\times\mathbb Z_4$%, $%\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%. Для первого и третьего случая очевидно наличие циклической подгруппы порядка 4, факторгруппа по которой также циклична порядка 4. Остальные два случая рассмотрим отдельно.

Будем обозначать образующие сомножителей буквами по алфавиту, а элементы прямого произведения не в виде пар или троек, а в виде произведений. Для группы $%\mathbb Z_8\times\mathbb Z_2$% рассмотрим элемент $%a^2b$%. Он имеет порядок 4 и порождает циклическую подгрупп $%H$% порядка 4. Факторгруппа $%G/H$% имеет порядок 4. Чтобы доказать её цикличность, достаточно предъявить в ней элемент вида $%xH$% порядка 4. Для этого нужно, чтобы выполнялось условие $%x^2\notin H$%. Здесь это будет верно при $%x=a$%. Тогда факторгруппа $%G/H$% циклична с образующим $%aH$% порядка 4.

Теперь рассмотрим последний случай, когда $%G=\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%. Здесь $%H$% будет циклической подгруппой некоторого элемента вида $%a^{\pm1}b^kc^m$% порядка 4. Отсюда следует, что $%a^2\in H$%. Ввиду того, что $%b^2=c^2=1$%, для любого $%x\in G$% будет верно условие $%x^2\in H$%. Тем самым, факторгруппа по $%H$% уже не циклична, так как квадрат любого её элемента единичен.

Итого получилось три варианта.

3) Здесь $%G$% имеет порядок 36, и в примарном разложении получается прямое произведение одной из групп $%\mathbb Z_4$% или $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$% на одну из групп $%\mathbb Z_9$% или $%\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$%. В двух из этих случаев получается $%\mathbb Z_{36}$% или $%\mathbb Z_6\times\mathbb Z_6$%, и условие выполняется. В двух оставшихся случаях, то есть $%\mathbb Z_4\times\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$% и $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_9$%, группа $%G$% обладает элементом порядка 6, а факторгруппа по циклической группе данного элемента будет абелевой порядка 6, а потому циклической. То есть в этом пункте получается 4 варианта для группы $%G$%.

ссылка

отвечен 29 Июн '17 11:54

Большое спасибо! У меня совсем глупости какие-то написаны)

(30 Июн '17 6:05) Cristy
1

@Cristy: у Вас общие формулы были неправильно "дешифрованы". По сути дела, надо брать число n, рассматривать его канонического разложение, и для каждой степени простого вида p^k рассматривать всевозможные представления k в виде сумм натуральных чисел (порядок слагаемых не важен). Это даёт все разложения в прямое произведение с точностью до изоморфизма.

(30 Июн '17 9:39) falcao

Ага, как-то сразу не вышло предположить, что может возникнуть такая ситуация $% \mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2/\mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_4$%.

(30 Июн '17 11:01) Cristy

@Cristy: да, это как раз интересный пример, делающей задачу хорошей (при том, что сама теория абелевых групп не слишком интересна).

(30 Июн '17 12:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×864
×88

задан
29 Июн '17 7:42

показан
406 раз

обновлен
30 Июн '17 12:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru