0
1

1)Привести пример конечного поля, в котором уравнение x^4=1 имеет ровно 4 корня. 2)Найти количество неприводимых над 𝑍11 многочленов степени 2.

задан 30 Июн '17 6:21

По п. 1 возьмите, например, GF(5). Имеется в виду различных корня?

(30 Июн '17 9:37) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Исследуем вопрос в общем виде (хотя примера поля Z5 вполне достаточно). Пусть поле имеет порядок p^n. Его мультипликативная группа циклична, и её порядок равен p^n-1. Если это число делится на 4, то имеется циклическая подгруппа порядка 4, и при этом она единственна. Её элементы удовлетворяют уравнению x^4=1, и их ровно 4. Обратно, если элемент x удовлетворяет этому уравнению, и он отличен от 1 и -1, то x^2 не равно 1, то есть он имеет порядок 4, и при этом p^n-1 делится на 4. Таким образом, это условие необходимо и достаточно.

2) Будем рассматривать многочлены со старшим коэффициентом 1. Над полем Z_p многочленов степени 2 ровно p^2, так как они имеют вид x^2+ax+b. Те из них, которые приводимы, раскладываются на линейные множители. Получается p случаев с кратным корнем: (x-c)^2, и p(p-1)/2 случаев с различными корнями: (x-c1)(x-c2), где c1 не равно c2. Итого p(p+1)/2 приводимых, и p^2-p(p+1)/2=p(p-1)/2 неприводимых.

При p=11 получается 55 неприводимых многочленов. Если рассматривать все, а не только со старшим коэффициентом 1, то домножаем на ненулевую константу, и получаем 550.

ссылка

отвечен 30 Июн '17 9:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,860
×1,019
×879
×433

задан
30 Июн '17 6:21

показан
428 раз

обновлен
30 Июн '17 9:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru