1. Привести пример $% \mathbb{Z}[x]$%-модуля, который не представляется в виде прямой суммы $%\mathbb{Z}[x]/I$%
  2. Привести пример $% \mathbb{C}[x,y]$%-модуля, который не представляется в виде прямой суммы $%\mathbb{C}[x,y]/I$%
  3. Привести пример несвободной группы, любая конечнопорождённая подгруппа которой свободна.

В 1,2-ом надо, как я понимаю, привести примеры того, что если модуль рассматривается не над кольцом главных идеалов, то он не всегда будет иметь структуру разложения в прямую сумму факторколец по идеалам. В 3-ем, есть пример группы Баера-Спекера $% \mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \cdots $%, которая не является свободной. Возможно есть более наглядные примеры?

задан 1 Июл '17 5:34

изменен 1 Июл '17 5:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Рассмотрим идеал $%J$% кольца $%R=\mathbb Z[x]$%, порождённый элементами $%2$% и $%x$%. Легко проверяется, что он не является главным, так как у $%2$% и $%x$% нет общих делителей кроме $%\pm1$%. Как и всякий идеал, $%J$% является (левым) $%R$%-модулем. Предположим, что он изоморфен прямой сумме модулей вида $%R/I$%. Слагаемое не может быть одно, так как $%J$% не порождается одним элементом как $%R$%-модуль. Если слагаемых более одного, то найдутся два независимых элемента $%a$% и $%b$%, для которых пересечение $%Ra\cap Rb$% нулевое (достаточно взять ненулевые элементы разных прямых слагаемых). Но для идеала $%J$% это не так, поскольку $%ab=ba\ne0$% принадлежит пересечению.

2) То же самое, только надо взять идеал, порождённый $%x$% и $%y$%. Он также не будет главным.

3) Стандартный пример -- аддитивная группа рациональных чисел. Всякая конечно-порождённая её подгруппа -- бесконечная циклическая, а потому свободная. Сама же группа не свободна, так как она не изоморфна $%\mathbb Z$%.

Можно также привести примеры неабелевых групп с таким свойством, но эта конструкция будет чуть посложнее.

Пример $%\mathbb Z^{\mathbb N}$%, по-моему, не подходит.

ссылка

отвечен 1 Июл '17 15:17

А разве нельзя идеал представить в таком виде $% \left(2,x \right) \cong \mathbb{Z}[x] \oplus \mathbb{Z} $%?

(2 Июл '17 2:08) Cristy

Абелева свободная группа не всегда должна быть изоморфна $%\mathbb{Z}$%. Это верно для $% \mathbb{Z} $%-модуля ранга 1. А группа Баера-Спекера не является свободной, что для мне кажется, достаточно нетривиальным фактом) Хотя любая её конечнопорождённая подгруппа свободна

(2 Июл '17 2:16) Cristy
1

http://www.math.uni-duesseldorf.de/~schroeer/publications_pdf/infinite_product-1.pdf

Вот доказательство того, что эта группа не имеет базис, и следовательно, не является свободной абелевой.

(2 Июл '17 2:18) Cristy

@Cristy: да, выходит, что этот пример тоже подходит. Мне поначалу казалось, что там работают или соображения типа выбора базиса Гамеля, либо что-то типа приведения к ступенчатому виду матрицы с континуальным числом строк. Это интересный пример, но доказательство для случая (Q,+) существенно проще.

На всякий случай: Baer -- это Бэр (довольно известное имя), а Specker -- вероятнее всего, Шпекер, поскольку немец.

Если многочлен из (2,x), равный 2k+xf(x), задать парой (k,f(x)), то получится изоморфизм абелевых групп, но не модульный изоморфизм.

(2 Июл '17 3:21) falcao

@Cristy: забыл отметить что абелева свободная группа -- это не то же самое, что свободная абелева группа. В первом случае имеется в виду (абсолютно) свободная группа, являющаяся абелевой. Во втором -- группа, свободная в многообразии абелевых групп. Попутно можно отметить и то, что Q не является также свободной абелевой, что достаточно очевидно (поскольку это делимая группа).

(2 Июл '17 3:57) falcao

Спасибо Вам большое! У меня тут совсем ерунда написана какая-то, особенно по поводу изоморфизма $%\left(2,x \right) \cong \mathbb{Z}[x] \oplus \mathbb{Z}$%. Изоморфизм есть, действительно, как абелевых групп, а не как $% \mathbb{Z}[x] $%-модулей.

(2 Июл '17 19:46) Cristy
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,019
×95

задан
1 Июл '17 5:34

показан
548 раз

обновлен
2 Июл '17 19:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru