Не получается по-строгому понять этот кусок. (Точнее - фразу "Then the residue of $%f=x^2+1 $% becomes 5", на интуитивном уровне понятно (просто подставить x=2), а на формальном нет). Как это проговорить более "разжевано"?

С этим связаны непонятки с устройством диаграммы: верхняя горизонтальная стрелка - это $%x\mapsto 2$%, левая вертикальная $%x\mapsto i$%, но как устроены остальные 2 стрелки (и откуда они берутся)?

Также непонятно, каким образом в диаграмме учитываются упомянутые в тексте изоморфизмы

alt text

задан 1 Июл '17 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассматривается факторкольцо кольца $%\mathbb Z[x]$% по идеалу $%I$%, порождённому $%x^2+1$% и $%x-2$%. Ясно, что $%x$% сравнимо с $%2$% по модулю этого идеала, и тогда $%x^2+1$% сравнимо с $%5$% (это к вопросу об остатках). Поэтому $%5\in I$%. Обратно, элемент $%x^2+1$% принадлежит идеалу, порождённому элементами $%5$% и $%x-2$%, так как $%x^2+1=(x-2)(x+2)+5$%. Значит, $%x^2+1$% можно заменить на $%5$%, то есть $%I$% порождён элементами $%5$% и $%x-2$%. Теперь ясно, что при факторизации по $%x-2$% мы получаем $%\mathbb Z$%, и далее, факторизуя по $%(5)$%, получаем $%\mathbb Z_5$%.

Коммутативные диаграммы -- это "мода" 60-х годов прошлого века, которая, я считаю, должна бы уже пройти :) Поэтому анализировать их я не буду.

ссылка

отвечен 1 Июл '17 21:39

"x сравнимо с 2 по модулю этого идеала" - правильно ли я понимаю, что формально эта фраза означает всего лишь, что x-2 лежит в I?

И в таком случае фраза "и тогда x^2+1 сравнимо с 5" говорит, что x^2+1-5=(x-2)(x+2) лежит в I? Это и есть обоснование импликации "Then the residue of f=x^2+1 becomes 5"?

Почему 5 лежит в I?

(1 Июл '17 21:57) Slater

Насчет диаграмм, вся современная гомологическая алгебра (и смежные науки) строится на коммутативных диаграммах...

(1 Июл '17 22:02) Slater

@Slater: да, сравнимость по модулю идеала именно это и означает. Из сравнимости следует, что x^2 сравнимо с 4, и тогда x^2+1 сравнимо с 5, то есть 5 принадлежит идеалу. То, что 5 принадлежит идеалу, также видно из равенства 5=(x^2+1)-(x-2)(x+2). Вся суть только в этом равенстве. Оно действует в обе стороны, и позволяет заменять один из порождающих на другой -- примерно как в алгоритме Евклида.

Если коммутативные диаграммы полезны в каких-то областях, из этого не следует, что их нужно привлекать там, где от них нет совершенно никакой пользы. Здесь именно "мода", не более того.

(1 Июл '17 22:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июл '17 20:01

показан
217 раз

обновлен
1 Июл '17 22:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru