Приводим ли многочлен x^5-(3+i)x+2 в (Z[i])[x]?

задан 1 Июл '17 20:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если многочлен приводим, то он приводим в любом факторкольце. Рассмотрим факторкольцо по главному идеалу элемента $%i+2$%. Как и в одном из предыдущих упражнений, это факторколько изоморфно $%\mathbb Z_5$%. При этом многочлен принимает вид $%x^5-x+2$%, что тождественно равно $%2$% в данном кольце. Поэтому корней в основном поле он не имеет. Если многочлен приводим, то один из множителей в разложении имеет степень $%2$%. Тогда получается, что он имеет корень в некотором расширении основного поля степени $%2$%. Пусть $%x$% -- такой корень. Тогда $%x^5=x-2$%, откуда $%x=x^{25}=(x-2)^5=x^5-2^5=x-4$% -- противоречие.

ссылка

отвечен 1 Июл '17 22:32

Почему факторкольцо будет полем? (Т.е. почему i+2 - простое гауссово?) Откуда равенство x=x^25? Где используется, что расширение степени 2?

(2 Июл '17 0:01) Slater

@Slater: только что решалась задача про Z[i]/(i-2). Ответом было поле Z_5. Для i+2 вместо i-2 всё точно так же. Лишней аргументации здесь не надо (хотя суть в том, что норма равна 1^2+2^2=5, и это простое число).

Если расширение имеет степень 2, то получается поле порядка 25. То, что поле порядка p^n удовлетворяет тождеству X^{p^n}=X -- хорошо известный факт.

(2 Июл '17 0:12) falcao

@falcao: т.е. по сути Вы применяете то, что написано здесь в первом ответе - https://math.stackexchange.com/questions/175131/irreducibility-of-x5-x-1-by-reduction-mod-5 ?

Я не очень понимаю, что там обозначается через w?

(3 Июл '17 21:43) Slater

@Slater: да, у меня соображения примерно такие же. Отличие только в обозначениях. Там через w обозначен элемент поля F(w), являющийся корнем многочлена. У меня то же самое обозначено через x.

(3 Июл '17 21:56) falcao

@Slater: я добавлю одну вещь, чтобы не было неясностей. "Формалисты" любят одно и то обозначать по-разному. Потом долго проверять, что "кастрюля -- это кастрюля" (с). С этой точки зрения, можно рассматривать переменную X и многочлены от неё, а через x тогда можно позволить себе обозначить корень этого же многочлена в каком-то поле. Но я этих лишних различий предпочитаю не вводить, рассуждая примерно как в школе. Нам дано какое-то уравнение f(x)=0; когда мы его решаем и находим корни, то обозначение остаётся в виде x, хотя здесь это уже число, а не буква (переменная). Различие лишь формальное.

(3 Июл '17 22:17) falcao

Все равно не понял, что такое w (или x у Вас, не важно). Чтобы рассматривать поле F(w), надо знать, что такое F. У нас пока были F_5, F_25, Но не F.

В общем, я не понимаю равенства F_5[x]/(f)=F_5[w]

(3 Июл '17 22:19) Slater

@Slater: факторкольцо F5[x]/(f) по главному идеалу неприводимого многочлена есть поле (F -- это и есть F5). Оно изоморфно простому алгебраическому расширению вида F5(Ъ), где Ъ -- корень данного многочлена в алгебраическом замыкании. Это общий факт из теории, который многократно обсуждался. Обозначение Ъ выбрано по принципу "чтоб смешнее было" :) По идее, корень обычно обозначают в виде alpha. Он же x, он же w.

(3 Июл '17 22:40) falcao

@falcao: ну Ъ - это же корень f? А там написано, что это корень всего многочлена x^5-x-1 (в нашем случае x^5-x+2)

(4 Июл '17 0:09) Slater

@Slater: у меня берётся корень многочлена степени 2 -- в предположении, что x^5-x+2 имеет такой множитель. Тогда этот же Ъ будет корнем и многочлена 5-й степени. Что написано по ссылке, я подробно не изучал.

P.S. Сейчас заглянул туда ещё раз -- там рассматривается irreducible quadratic factor, то есть ровно то же, что у меня.

(4 Июл '17 0:47) falcao

@falcao: надеюсь, последний вопрос на эту тему: x^5-2^5=x-2-2^5=x-34. Почему это равно x-4? Мы же работаем в F_25, и это равно x+16. Получается 16=0. И чему это противоречит?

(4 Июл '17 1:14) Slater

@Slater: я тоже надеюсь, что этот вопрос по теме последний, потому что я дал полное подробное решение. Его достаточно всего лишь прочитать.

Итак, многочлены здесь рассматриваются над полем из пяти элементов (хотя их корни могут принадлежать и расширению). Элемент 2^5, он же 32, по модулю 5 равен 2. Поэтому в последней строчке решения получается равенство x=(x-2)-2=x-4, то есть 4=0 по модулю 5, а это противоречие. Ведь поле имеет характеристику 5, то есть 5=1+1+1+1+1 равно нулю. Элемент 16 равен 1, и он же равен -4.

(4 Июл '17 1:37) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июл '17 20:16

показан
351 раз

обновлен
4 Июл '17 1:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru