Пусть p - нечетное простое число. Пусть F - поле с p^n элементами. Сколько решений имеет уравнение x^2-y^2=1, x,y\in F?

задан 1 Июл '17 20:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%p > 2$%. Положим $%x+y=a$%. Этот элемент обратим, и $%x-y=a^{-1}$%. Отсюда $%x=\frac{a+a^{-1}}2$%, $%y=\frac{a-a^{-1}}2$% -- решение уравнения $%x^2-y^2=1$%. Для любого обратимого $%a$% такое решение существует и единственно. Разным значениям $%a$% соответствуют разные решения. Поэтому всего их будет $%p^n-1$% -- по числу обратимых элементов.

Теперь пусть $%p=2$%. В поле $%F$% выполнено тождество $%X^{2^n}=X$%. Отсюда следует, что уравнение $%x^2=a$% равносильно $%x=a^{2^{n-1}}$%, то есть при любом $%a$% решение существует и единственно. Загадываем любое $%y\in F$%, и однозначно решаем уравнение $%x^2=y^2+1$% относительно $%x$%. Итого решений будет столько, сколько элементов поля, то есть $%2^n$%.

ссылка

отвечен 1 Июл '17 21:12

В первом абзаце где используется, что p не равно 2?

А второй абзац - это "бонус" для случая p=2? (В условии p нечетно) И во втором абзаце a - уже не то, что в первом?

(1 Июл '17 21:41) Slater

Я не заметил, что в условии было сказано про нечётное p. Действительно, тогда получился "бонус".

Используется нечётность в том, что мы делим на 2. При p=2 это уже не проходит, и ответ там другой.

Рассуждения тут независимы, и обозначение a является в обоих случаях "локальным".

(1 Июл '17 22:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июл '17 20:21

показан
287 раз

обновлен
1 Июл '17 22:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru