Доказать, что количество ненормальных подгрупп любой группы не может быть равно 1

задан 1 Июл '17 20:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

В учебниках по теории групп иногда отмечают, что если подгруппа не является нормальной, то не следует называть её "ненормальной" :)

Если в группе $%G$% есть подгруппа $%N$%, не являющаяся нормальной, то $%G$% неабелева, и $%1 < N < G$%. Согласно определению, существует $%g\in G$%, для которого $%gN\ne Ng$%. Тогда сопряжённая подгруппа $%N^g=g^{-1}Ng$% отлична от $%N$%, и также не является нормальной (так как образ любой нормальной подгруппы при любом автоморфизме есть нормальная подгруппа). Значит, подгрупп с рассматриваемым свойством как минимум две.

ссылка

отвечен 1 Июл '17 21:18

Еще одно доказательство. Пусть существует группа с одной ненормальной подгруппой. Тогда любой автоморфизм группы переводит ненормальную подгруппу в себя. Значит, ненормальная подгруппа является характеристической. Но характеристическая подгруппа нормальна.

(8 Сен '18 22:46) Slater

@Slater: это фактически то же самое. Понятно, что достаточно рассматривать внутренние автоморфизмы, и тогда будет $%g^{-1}Ng=N$%, то есть это вывод "с другого конца".

(8 Сен '18 23:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июл '17 20:24

показан
247 раз

обновлен
8 Сен '18 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru