Доказать неравенство sqrt(sin^4(x)+1)+sqrt(cos^4(x)+1)>=sqrt(5) Надо что-то делать: вопросов нет-как бы не закрыли, как физику

задан 3 Июл '17 2:17

10|600 символов нужно символов осталось
1

Летом обычно всегда "затишье", то есть тут нет ничего необычного.

Здесь можно всё доказать при помощи возведения в квадрат. Неравенство принимает такой вид: $%\sin^4x+\cos^4x+2\sqrt{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}\ge3$%. Прибавляем к обеим частям $%2\sin^2x\cos^2x$%, вычитаем по единице, делим на два. Получается $%\sqrt{(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)}\ge1+\sin^2x\cos^2x$%. Здесь всё неотрицательно; ещё раз возводим в квадрат: $%(1+\sin^4x)(1+\cos^4x)\ge1+\sin^4x\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x$%. Раскрываем скобки, преобразуем, и получаем верное неравенство $%(\cos^2x-\sin^2x)^2\ge0$%.

Отсюда также видно, что равенство достигается при $%\cos2x=0$%.

ссылка

отвечен 3 Июл '17 2:39

@falcao, это я понимаю, но скучно. В книжке доказательство при помощи векторов. Численные методы- трудная тема? Букварь какой-нибудь есть?

(3 Июл '17 2:59) epimkin

Вот ещё что есть для http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=55158

(3 Июл '17 3:01) epimkin

@epimkin: бывает так, что возведение в квадрат ведёт к чему-то сложному. Здесь же всё получилось в хорошем виде. Наверное, геометрическое решение тоже можно придумать.

По поводу численных методов я не понял суть вопроса. Что имелось в виду? Это некий отдельный вузовский курс, по нему есть стандартные учебники (типа Бахвалова).

(3 Июл '17 3:12) falcao

Геометрическое рассуждение такое: sqrt((a+b)^2+(c+d)^2)<=sqrt(a^2+c^2)+sqrt(b^2+d^2). Это модуль суммы не превосходит суммы модулей. Теперь подставляем a=b=1,c=sin^2x, d=cos^2x.

(3 Июл '17 3:22) falcao

Да вот летом делать нечего, хочу почитать, может понравится. Значит Бахвалов , посмотрю

(3 Июл '17 3:30) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
0

Другая геометрическая интерпретация (см. рис.): $$AC_1+C_1B = A'C_1+C_1B \ge A'B = AC_0+C_0B.$$ alt text

ссылка

отвечен 2 Авг '17 17:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915

задан
3 Июл '17 2:17

показан
366 раз

обновлен
2 Авг '17 17:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru