Кажется, что в последнее время от меня много вопросов, но я их задаю, чтобы не упустить чего-то важного. Пример, что на $% \mathbb{Q}$% не выполняется аксиома полноты:
$% A = \{x\in \mathbb{Q}: x > 0, x^2 > 2 \} $%
$% B = \{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2 \} $%,
правильно ли я понимаю, что если приводить это как контрпример, то мы рассматриваем не сами числа из $%\mathbb{Q}$%, а подмножество квадратов рациональных? Иначе как-то непонятно получается, почему мы не можем рассматривать $%2$%

задан 3 Июл '17 11:17

А... Аксиома полноты случайно не утверждает, что этот элемент разделяющий множества должен быть в одном из множеств? Тогда понятно, значит это просто верхняя или нижняя граница множества, а у этих множеств ее нет, я правильно думаю?

(3 Июл '17 11:43) Williams Wol...

@Williams Wol..., верно. Принцип точной верхней/нижней грани тоже может быть аксиомой

(3 Июл '17 13:06) no_exception

@Williams Wol...: рассматриваются сами числа (рациональные), квадраты которых больше или меньше двух. Только если это сечение Дедекинда, то в A входят все положительные x, квадрат которых больше 2, а в B входят все положительные, квадрат которых меньше 2, а также все неположительные. При Вашем разбиении получается, что число, скажем, -10 никуда не входит.

Элемент, разделяющий эти множества, здесь равен sqrt(2), но его нет ни там, ни там. Поэтому в Q нет верхней или нижней грани ни у которого из множеств. А для полного поля соответствующий принцип уже позволяет сформулировать полноту.

(3 Июл '17 17:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,701

задан
3 Июл '17 11:17

показан
326 раз

обновлен
3 Июл '17 17:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru