Пусть $%K$% - алгебраически замкнутое поле характеристики $%p>0$% и $%q=p^n$%. Показать, что решения уравнения $%x^q=x$% образуют подполе $%F\subseteq K$%.

задан 3 Июл '17 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это верно для любого поля, не обязательно алгебраически замкнутого.

Ясно, что множеству $%F$% принадлежат $%0$% и $%1$%. В силу "детского биномиального тождества", в поле характеристики $%p$% верно $%(a+b)^p=a^p+b^p$%, и тогда по индукции $%(a+b)^q=a^q+b^q$% для любой степени $%q$% числа $%p$%. Получается, что $%F$% замкнуто относительно сложения. Далее, $%(-a)^q=-a^q$% (для $%p=2$% это тоже верно, так как "плюс" там равен "минусу"). Значит, $%a\in F$% влечёт $%-a\in F$%, то есть $%F$% есть абелева подгруппа в $%K$%. Из условий $%a,b\in F$% следует $%(ab)^q=a^qb^q=ab$%, то есть $%ab\in F$%. Тем самым, $%F$% образует подкольцо. Наконец, если $%a\ne0$% принадлежит $%F$%, то для обратного элемента $%a^{-1}$% в поле $%K$% выполняется условие $%(a^{-1})^q=a^{-q}=(a^q)^{-1}=a^{-1}$%, то есть любой ненулевой элемент кольца $%F$% обратим в этом кольце. Тем самым, $%F$% есть поле.

ссылка

отвечен 3 Июл '17 18:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
3 Июл '17 17:44

показан
224 раза

обновлен
3 Июл '17 18:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru