Пусть $%A\in M_n(\mathbb {C})$% - диагонализуемая матрица, которая подобна $%\overline A$%. Доказать, что она подобна некоторой матрице $%A_0\in M_n(\mathbb R)$%

задан 3 Июл '17 17:59

изменен 3 Июл '17 18:54

Последнее не очень понятно. Через A' обычно обозначают матрицу из алгебраических дополнений. Но тогда, если A=diag(i,-i), то A' не будет вещественной.

(3 Июл '17 18:36) falcao

Имелась в виду некоторая вещественная матрица.

(3 Июл '17 18:54) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно сразу считать, что $%A$% диагональна. Подобие $%A$% и сопряжённой матрицы $%\bar{A}$% означает, что на диагонали находятся или вещественные числа, или мнимые числа вида $%a+bi$% и $%a-bi$% (то есть в таком виде всё можно сгруппировать). Тогда задача сводится к тому, что матрица порядка 2 с элементами $%a+bi$% и $%a-bi$% на главной диагонали подобна вещественной.

Характеристический многочлен такой матрицы равен $%t^2-2at+a^2+b^2$%. След равен $%2a$%, определитель равен $%a^2+b^2$%. Рассматриваем вещественную матрицу с элементами $%a$%, $%b$%, $%-b$%, $%a$% (по строкам). У неё след и определитель такие же. Значит, собственные числа равны $%a\pm bi$%, и они различны ввиду $%b\ne0$%. Тогда матрица подобна диагональной.

Общий случай получается из сказанного выше при помощи разбиения матрицы на блоки порядков 1 или 2.

ссылка

отвечен 3 Июл '17 22:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
3 Июл '17 17:59

показан
262 раза

обновлен
3 Июл '17 22:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru