Пусть $%a,b\in \mathbb R$%. Найти собственные значения матрицы $%M_{a,b}\in Mat_{n\times n}(\mathbb{R})$% и их кратности.

alt text

задан 3 Июл '17 18:03

изменен 3 Июл '17 18:58

10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим через $%e_i$% единичный столбец с номером $%i$% (то есть на $%i$%-м месте единица, а остальные нули). Матрицу обозначим через $%A$%. Ясно, что если все элементы матрицы равны $%b$%, то матрица получается вырожденной, и это имеет место при $%\lambda=a-b$% для матрицы $%A-\lambda E$%. То есть указанное значение есть собственное число. Собственным вектором будет ненулевой столбец, у которого сумма координат равна нулю. Все такие векторы образуют подпространство в $%\mathbb R^n$% размерности $%n-1$%. В качестве базиса можно выбрать $%e_1-e_n$%, $%e_2-e_n$%, ... , $%e_{n-1}-e_n$%.

Далее, если сложить все столбцы матрицы, то получится вектор с одинаковыми координатами. Это значит, что вектор $%e_1+\cdots+e_n$% (из одних единиц) будет собственным, и собственное значение равно сумме чисел строки: $%\lambda=a+(n-1)b$%.

Теперь легко заметить, что система из $%n$% векторов: $%e_1-e_n$%, $%e_2-e_n$%, ... , $%e_{n-1}-e_n$%; $%e_1+\cdots+e_n$% будет линейно независима, то есть образует базис. Матрица линейного преобразования $%x\mapsto Ax$% (подобная исходной) в этом базисе будет диагональной с $%n-1$% числом $%a-b$% и одним числом $%a+(n-1)b$%. Отсюда видны как собственные числа, так и их кратности (при $%b=0$% все они совпадут).

ссылка

отвечен 3 Июл '17 23:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,333

задан
3 Июл '17 18:03

показан
271 раз

обновлен
3 Июл '17 23:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru