Здравствуйте. 1) Необходимо доказать, что любая абелева группа с n образующими является гомоморфным образом свободной абелевой группы ранга n. Здесь же необходимо выяснить как устроено ядро. (Если есть гомоморфизм ф: G->H, то G/ker(ф) изоморфна H). 2) Свободная абелева группа G ранга n есть прямая сумма своих образующих (G=Z^n=Z+...+Z(n раз) = <g_1>+<g_2>+...+<g_n> ("+" прямая сумма)). Пусть H - абелева группа с n образующими. Необходимо показать, что существует гомоморфизм группы G на H.

задан 3 Июл '17 18:50

изменен 3 Июл '17 20:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это общий факт, причём достаточно тривиальный. Задаём систему $%a_1$%, ... , $%a_n$% образующих абелевой группы $%A$%. Рассматриваем отображение $%\mathbb Z^n$% в $%A$%, переводя набор целых чисел $%k_1$%, ... , $%k_n$% в элемент $%k_1a_1+\cdots+k_na_n\in A$%. Очевидно, что это гомоморфизм $%\mathbb Z^n$% в $%A$%, причём он сюръективен, так как мы рассматривали систему порождающих группы. Значит, $%A$% является гомоморфным образом свободной абелевой группы $%Z^n$%.

Ядро состоит из всех наборов вида $%(k_1,...,k_n)$%, которым отвечают соотношения между образующими группы $%A$%, то есть $%k_1a_1+\cdots+k_na_n=0$%.

ссылка

отвечен 3 Июл '17 21:53

@falcao: а про второй пункт - что можно сказать?

(3 Июл '17 22:14) Oleg55

Второй пункт -- это не самостоятельная задача, а пересказ первого пункта. То же самое, только "в профиль" :)

(3 Июл '17 22:18) falcao

@falcao: а такое условие: если в качестве ядра выступает <m_1g_1>+...+<m_ng_n>, то выполняется такое условие: <g_1>/<m_1g_1> изоморфно системе: ЛИБО Z при m_1 = 0, ЛИБО 0 при m_1 = 1, ЛИБО Z_m1 при m_1 не равном 0 и 1.

(3 Июл '17 22:27) Oleg55

@Oleg55: если ядро уже представлено в таком виде, то оно является прямой суммой, и тогда факторгруппа изоморфна прямой сумме циклических групп (конечных или бесконечных). Это верно, но такие вещи известны из общей теории. Их лучше в таком виде и рассматривать, то есть не "разменивать" на задачи.

(3 Июл '17 22:36) falcao

@falcao: и изменится ли доказательство пункта 1), если группа будет свободная, абелева и конечно порожденная?

(3 Июл '17 22:37) Oleg55

@falcao: если в качестве ядра выступает <m_1g_1>+...+<m_ng_n>, то выполняется такое условие: <g_1>/<m_1g_1> изоморфно системе: ЛИБО Z при m_1 = 0, ЛИБО 0 при m_1 = 1, ЛИБО Z_m1 при m_1 не равном 0 и 1. - можно доказательство данного факта?

(3 Июл '17 22:46) Oleg55

@Oleg55: а что тут нужно доказывать? По свойствам прямого произведения, хорошо известно, что (A+B+...)/(ka+mA+...) изоморфно A/(ka) + B/(mB) + ... . Тогда, если мы берём слагаемое Z/mZ, и m=0, то получается группа Z/(0)=Z. Если m=1, то Z/Z=0. Если m=2,3,... , то получается Z/mZ, то есть это циклическая группа порядка m по определению. Здесь же в Вашем тексте уже всё сказано -- остаётся только понять мысль.

(3 Июл '17 23:06) falcao

@falcao: спасибо!

(4 Июл '17 2:03) Oleg55
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
3 Июл '17 18:50

показан
418 раз

обновлен
4 Июл '17 2:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru